Відкрити головне меню
Правильна пентаграма
Pentagram green.svg
Пентаграма — правильна п’ятикутна зірка
Тип многокутника Зірка
Ребра і вершини 5
Символ Шлефлі {5/2}
Діаграма Коксетера–Динкіна CD ring.png CD 5-2.png CD dot.png
Група симетрії правильних многокутників D5 (Порядок 10)
Внутрішній кут
(градусів)
36°

Пентагра́ма (пентальфа, пентагерон; грец. πεντάγραμμον від πέντε — «п'ять» і γράμμα — «риска, лінія») — геометрична фігура, утворена правильним п'ятикутником і рівнобедреними рівновисокими трикутниками, побудованими назовні п’ятикутника на його сторонах як на основах. Зокрема, трикутники можуть бути рівносторонніми або утвореними продовженнями сторін п’ятикутника, взятими через одну. Остання пентаграма є правильною п’ятикутною зіркою (зірчастим многокутником), яка також може бути утворена всіма діагоналями правильного п’ятикутника.

Пентаграма використовувалася як символ в Стародавній Греції і Вавилонії, і використовується сьогодні як символ віри в багатьох[джерело не вказане 151 день] неоязичницьких релігіях, подібно як хрест у християн чи гексаграма в юдеїв. Пентаграму пов’язують з магією, і багато людей, які практикують новоязичництво, вірять в силу ювелірних виробів із зображенням пентаграми, носячи їх. Християни ж зазвичай використовують пентаграму для символічного зображення п’яти святих ран Ісуса.[джерело не вказане 151 день] Пентаграму асоціюють також з масонством, про неї пишуть фантасти, нетрадиційні історики[1] тощо.

Пентакль, за Оксфордським словником англійської мови, це дископодібний предмет із зображенням пентаграми.

Зміст

Символічне значенняРедагувати

Алхіміки, чорнокнижники[en] та ін. вважали пентаграму захистом від диявола. Так, Гете у трагедії «Фауст» описав, що Мефістофель проник до помешкання Фауста, скориставшись невеличким проміжком у куточку начертаної на будинку пентаграми.

ІсторіяРедагувати

 
Пентаграми на зображенні Анубіса у вигляді шакала, який сидить на гробниці. Реконструкція зображення періоду Нового царства

Перші зображення пентаграми датуються приблизно 3500 р. до н. е., це намальовані на глині п'ятикутні зірки, знайдені на руїнах стародавнього міста Урука. Зображення пентаграм зустрічаються і на єгипетських статуях. Як пише у своїй «Новій Енциклопедії Франк-масонства» Артур Вейт, єгиптяни називали пентаграму «зіркою песиголового Анубіса».

ГеометріяРедагувати

Золотий перетин у пентаграміРедагувати

Золотий перетин виступає у правильній пентаграмі, який вважався магічним символом у багатьох культурах. Точка перетину сторін ділить їх у золотій пропорції. Більша частина сторони також ділиться у золотій пропорції іншою точкою перетину.

Пентаграма містить п'ять гострокутних та п'ять тупокутних золотих трикутників. У кожному з них співвідношення довжини довшої та коротшої сторони утворює золотий перетин.

Якщо побудувати нескінченну пентаграму [1](продовжити "правильну п'ятикутну зірку" п'ятикутниками і "вістряками" назовні і всередину) і надати якомусь її відрізку значення 1,000 - отримаємо ряд чисел, який є послідовними степенями числа Ф (фі): Ф0 = 1,000. ., Ф1 = 1,6180339 ..., Ф2 = 2,6180339 ..., Ф3 = 4,2360679..., Ф4 = 6,8541019 ..., Ф5 = 11,0901699 .., і "всередину" ( в сторону менше 1,00): Ф-1 = 0,6180339 ..., Ф-2 = 0,3819660 ..., Ф-3 = 0,2360679 ..., Ф-4 = 0,1458980 .... Можна виявити дивну властивість цих двох послідовностей ( "назовні" і "всередину" від одиниці): парні степені Ф дають ЦІЛІ ЧИСЛА при додаванні: Фn + Ф-n, а непарні - при відніманні Фn - Ф-n. В результаті отримуємо цілочисельний ряд 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, .., названий "рядом Люка". Ряд Фібоначчі виходить схожим чином, при діленні на V5 (корінь з 5): (Фn + Ф-n) / V5 для непарних n = 2k + 1 і (Фn - Ф-n )/ V5 для парних n = 2k (тут навпаки: непарні степені Ф додаються, а парні - віднімаються). Обидві формули вивів в 19 столітті французький математик Жак Філіп Марі Біне (1786 - 1856).

Варто також зауважити, що будь-який ряд, з будь-якими початковими числами, у якого наступний член виходить додаванням двох попередніх Х n+1 = Xn + X n-1, - у великих числах (при n → ∞) прагне до "золотого співвідношення" між сусідніми членами. Тобто до класичної формули знаходження числа Ф через V5: Ф = (1 + V5) / 2 ми можемо додати ще дві: Ф як границя співвідношення між сусідніми членами будь-якого ряду Фібоначчі: Ф = lim (Xn / X n-1) при n → ∞, і третя формула виходить з геометрії пентаграми: Ф = 2cos36о або Ф = (1/sin18о)/2.

В астрономії та природіРедагувати

 
Парад планет з Венерою (Земля, Венера, Сонце, Меркурій) повторюється кожні приблизно 1,6 (13:8) років (13 обертів Венери навколо Сонця по часу приблизно рівні 8 обертів Землі; 13:8 орбітальний резонанс Венери і Землі). Траєкторія руху Венери протягом 13 обертів (5 парадів планет) утворює фігуру подібну до пентаграми

Древні різали яблука по лінії екватора, і цю традицію дотепер зберігають цигани. Тому що так можна побачити древній символ – пентаграму, яка міститься всередині яблука і постає перед нами у вигляді п’ятикутної зірки із зернятками в променях.

ПриміткиРедагувати

ПосиланняРедагувати