Послідовність Люка

В математиці, послідовностями Люка називають сімейство пар лінійних рекурентних послідовностей другого порядку, вперше розглянутих Едуардом Люка.

Послідовності Люка являють собою пари послідовностей $\{U_{n}(P,Q)\}$ и $\{V_{n}(P,Q)\}$, що задовольняють одному і тому ж рекурентному співвідношенню з коефіцієнтами P і Q:

$U_{0}(P,Q)=0,\quad U_{1}(P,Q)=1,\quad U_{n+2}(P,Q)=P\cdot U_{n+1}(P,Q)-Q\cdot U_{n}(P,Q),\,n\geq 0$

$V_{0}(P,Q)=2,\quad V_{1}(P,Q)=P,\quad V_{n+2}(P,Q)=P\cdot V_{n+1}(P,Q)-Q\cdot V_{n}(P,Q),\,n\geq 0$

Приклади

Деякі послідовності Люка носять власні імена:

• $\{U_{n}(1,-1)\}$ - числа Фібоначчі
• $\{V_{n}(1,-1)\}$ - числа Люка
• $\{U_{n}(2,-1)\}$ - числа Пелля
• $\{V_{n}(2,-1)\}$ - числа Пелля-Люка
• $\{U_{n}(3,2)\}$ - числа Мерсенна
• $\{U_{n}(1,-2)\}$ - числа Якобсталя

Явні формули

Характеристичним многочленом рекуретного співвідношення послідовностей Люка $\{U_{n}(P,Q)\}$ та $\{V_{n}(P,Q)\}$ є:

$x^{2}-P\cdot x+Q$

Його дискримінант $D=P^{2}-4Q$ вважається не рівним нулю. Корені характеристичного многочлена

$\alpha ={\frac {P+{\sqrt {D}}}{2}}$ и $\beta ={\frac {P-{\sqrt {D}}}{2}}$

можна використовувати для отримання явних формул:

$U_{n}(P,Q)={\frac {\alpha ^{n}-\beta ^{n}}{\alpha -\beta }}={\frac {\alpha ^{n}-\beta ^{n}}{\sqrt {D}}}$

та

$V_{n}(P,Q)=\alpha ^{n}+\beta ^{n}.~$

Властивості

Генератриси

Звичайні генератриси (твірні функції) для послідовностей Люка в загальному випадку мають вигляд:

$\sum _{n\geq 0}U_{n}(P,Q)z^{n}={\frac {z}{1-Pz+Qz^{2}}};$

$\sum _{n\geq 0}V_{n}(P,Q)z^{n}={\frac {2-Pz}{1-Pz+Qz^{2}}}.$

Джерела

• Lucas sequence at Encyclopedia of Mathematics.
• Weisstein, Eric W. Lucas Sequence(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.