Число Мерсенна

(Перенаправлено з Числа Мерсенна)

Число́ Мерсе́нна (Mersenne number) — числа виду , де  — натуральне число. Числа називають іменем французького математика Марена Мерсенна, що жив на початку XVII століття.

Послідовність чисел Мерсенна починається так:

1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, … (послідовність A000225 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

Іноді числами Мерсенна називають числа з простими індексами . Ця послідовність починається так:

3, 7, 31, 127, 2047, 8191, 131071, 524287, 8388607,… (послідовність A001348 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

Найбільше на сьогодні просте число Мерсенна, це 51-ше число 282,589,933 − 1, знайдене 7-го грудня 2018 року. Це число містить 24,862,048 знаків.

ВластивостіРедагувати

Прості числа МерсеннаРедагувати

Числа Мерсенна є добре відомими в зв'язку з ефективним критерієм простоти Люка-Лемера, завдяки якому прості числа Мерсенна давно утримують лідерство як найвідоміші прості числа (див. посилання). Станом на січень 2016 року найбільшим відомим простим числом є число Мерсенна  [1], знайдене 7 січня 2016 року в рамках проекту розподілених обчислень GIMPS. Всього відомо 49 простих числа Мерсенна, при чому порядкові номери встановлені лише у перших 39-ти (точно).

Послідовність простих чисел Мерсенна і їх показників починається так:

 : 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951, 618970019642690137449562111, … (послідовність A000668 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)
p: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, … (послідовність A000043 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

Відкриті проблемиРедагувати

  • Нескінченність кількості простих чисел Мерсенна і їх асимптотика
  • Простота числа  


Факторизація чисел МереннаРедагувати

p Mp Факторизація Mp
11 2047 23 × 89
23 8388607 47 × 178,481
29 536870911 233 × 1,103 × 2,089
37 137438953471 223 × 616,318,177
41 2199023255551 13,367 × 164,511,353
43 8796093022207 431 × 9,719 × 2,099,863
47 140737488355327 2,351 × 4,513 × 13,264,529
53 9007199254740991 6,361 × 69,431 × 20,394,401
59 57646075230343487 179,951 × 3,203,431,780,337 (13 цифр)
67 147573952589676412927 193,707,721 × 761,838,257,287 (12 цифр)
71 2361183241434822606847 228,479 × 48,544,121 × 212,885,833
73 9444732965739290427391 439 × 2,298,041 × 9,361,973,132,609 (13 цифр)
79 604462903807314587353087 2,687 × 202,029,703 × 1,113,491,139,767 (13 цифр)
83 967140655691...033397649407 167 × 57,912,614,113,275,649,087,721 (23 цифр)
97 158456325028...187087900671 11,447 × 13,842,607,235,828,485,645,766,393 (26 цифр)
101 253530120045...993406410751 7,432,339,208,719 (13 цифр) × 341,117,531,003,194,129 (18 цифр)
103 101412048018...973625643007 2,550,183,799 × 3,976,656,429,941,438,590,393 (22 цифри)
109 649037107316...312041152511 745,988,807 × 870,035,986,098,720,987,332,873 (24 цифри)
113 103845937170...992658440191 3,391 × 23,279 × 65,993 × 1,868,569 × 1,066,818,132,868,207 (16 цифр)
131 272225893536...454145691647 263 × 10,350,794,431,055,162,386,718,619,237,468,234,569 (38 цифр)

ПриміткиРедагувати

ПосиланняРедагувати