Ребро́ — в геометрії одновимірний відрізок, що з'єднує дві сусідні нульвимірні вершини многокутника, багатогранника або політопа довільної вимірності.[1] В многокутнику ребро ще називають стороною.[2] В багатограннику або, більш загально, у політопі ребро є відрізком в якому дві грані з'єднуються.[3] Відрізок, який з'єднує дві вершини та проходить всередині або зовні не є ребром, натомість його називають діагоналлю.


Три ребра: AB, BC і CA — кожне між двома вершинами трикутника.

Багатокутник, обмежений чотирма сторонами; Цей квадрат має 4 ребра.

У багатограннику кожне ребро розділяє 2 грані, як у цьому кубі.

Кожне ребро розділяє 3 або більше граней у чотиривимірному багатограннику, як показано на цій проєкції тесеракту.
Многокутник ABCDEF з позначеними червоним кольором ребрами BC і DE

Замкнута послідовність ребер на площині утворює многокутник або грань багатогранника.

Ребра в графах

ред.

В теорії графів, ребра — це абстрактний об'єкт, що з'єднує дві вершини графу, на відміну від багатокутника і багатогранника, ребра якого мають конкретне геометричне подання у вигляді лінійного сегмента. Однак, будь-який поліедр може бути представлений у вигляді його кістяку, а саме графом, вершини якого є вершинами многогранника, і у геометричному вигляді[4]. З іншого боку, графи, які є скелетами тривимірних багатогранників, можна охарактеризувати по теоремі Штайніца як з'єднані трьома вершинами планарні графи[5].

Число ребер багатогранника

ред.

Будь-який опуклий багатокутник має Ейлерову характеристику:

 

де V — число вершин, Е — число ребер і F — число граней. Це рівняння відоме як формула Ейлера для багатогранника. Таким чином, число ребер на 2 менше, ніж сума числа вершин і граней. Наприклад, куб має 8 вершин і 6 граней, 12 ребер.

Належність граням

ред.

У полігоні два ребра зустрічаються у кожній вершині; в цілому за теоремою М. Балінського[en] існує принаймні n граней в кожній вершині n-вимірного опуклого багатогранника[6]. Аналогічно у багатограннику рівно дві грані відповідає кожному ребру[7], у той час як у вищих вимірностях ребру може відповідати три грані або й більше.

Альтернативна термінологія

ред.

У теорії багатомірних опуклих багатогранників грані або сторони n-вимірного багатогранника є одними з його (n − 1)-вимірною особливостей, що хребет — це (n − 2)-вимірних просторових об'єктів, і пік це (n − 3)-вимірний просторовий об'єкт. Таким чином, ребрами полігону є його грані, ребрами 3-вимірного опуклого багатогранника є його хребти, а піки 4-вимірного багатогранника є його вершини[8].

Примітки

ред.
  1. Ziegler, Günter M. (1995), Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, т. 152, Springer, Definition 2.1, p. 51, архів оригіналу за 15 лютого 2017, процитовано 25 червня 2016.
  2. Weisstein, Eric W. «Polygon Edge.» From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PolygonEdge.html [Архівовано 26 липня 2020 у Wayback Machine.]
  3. Weisstein, Eric W. «Polytope Edge.» From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PolytopeEdge.html [Архівовано 24 травня 2016 у Wayback Machine.]
  4. Senechal, Marjorie (2013), Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination, Springer, с. 81, ISBN 9780387927145, архів оригіналу за 7 січня 2014, процитовано 29 червня 2016.
  5. Pisanski, Tomaž; Randić, Milan (2000), Bridges between geometry and graph theory, у Gorini, Catherine A. (ред.), Geometry at work, MAA Notes, т. 53, Washington, DC: Math. Assoc. America, с. 174—194, MR 1782654. See in particular Theorem 3, p. 176 [Архівовано 20 лютого 2017 у Wayback Machine.].
  6. Balinski, M. L. (1961), On the graph structure of convex polyhedra in n-space, Pacific Journal of Mathematics, 11 (2): 431—434, doi:10.2140/pjm.1961.11.431, MR 0126765, архів оригіналу за 11 травня 2019, процитовано 29 червня 2016.
  7. Wenninger, Magnus J. (1974), Polyhedron Models, Cambridge University Press, с. 1, ISBN 9780521098595, архів оригіналу за 21 березня 2015, процитовано 29 червня 2016.
  8. Seidel, Raimund (1986), Constructing higher-dimensional convex hulls at logarithmic cost per face, Proceedings of the Eighteenth Annual ACM Symposium on Theory of Computing (STOC '86), с. 404—413, doi:10.1145/12130.12172.

Див. також

ред.

Посилання

ред.