Тесеракт
Schlegel wireframe 8-cell.png
Тип правильний чотиривимірний політоп
Символ Шлефлі {4,3,3}
Комірок 8
Граней 24
Ребер 32
Вершин 16
Вершинна фігура Правильний тетраедр

Тесеракт (від грец. Τέσσερες ἀκτῖνες — «чотири промені») — чотиривимірний гіперкуб — аналог куба в чотиривимірному просторі.

Анімована проєкція тесеракта

Зображення є проєкцією (перспективою) чотиривимірного куба на тривимірний простір.

Згідно з Оксфордським словником, слово «tesseract» було придумано і почало використовуватися в 1888 Чарльзом Говардом Гінтоном (18531907) в його книзі «Нова ера думки».

ГеометріяРедагувати

Звичайний тесеракт в Евклідовому чотиривимірному просторі визначається як опукла оболонка точок (± 1, ± 1, ± 1, ± 1). Інакше кажучи, він може бути представлений у наступному вигляді:

 

Тессеракт обмежений вісьмома гіперплощинами  , перетин яких з самим тесерактом задає його тривимірні грані (є звичайними кубами). Кожна пара непаралельних тривимірних граней перетинається, утворюючи двовимірні межі (квадрати), і так далі. Остаточно, тесеракт володіє 8 тривимірними гранями, 24 двовимірними, 32 ребрами і 16 вершинами.

Чотиривимірний гіпероб'єм тесеракта зі стороною завдовжки a розраховується за формулою:
 

Радіус описаної гіперсфери:
 

Радіус вписаної гіперсфери:
 

Розгоркта тесерактаРедагувати

Аналогічно тому, як поверхню куба можна розгорнути у двомірний многокутник, що складається з шести квадратів, поверхню тесеракта можна розгорнути у трьохмірне тіло, що складається з восьми кубів.

 
Розгортання поверхні тесеракта у тривимірний простір

Існує 261 розгортка тесеракта. Розгортки гіперкубу можуть бути знайдені перерахуванням «здвоєних дерев», де «здвоєне дерево»(paired tree) —це дерево з парним числом вершин, які розбиті на пари так, що жодна пара не складається з двох суміжних вершин. Між «здвоєними деревами» з 8 вершинами і розгортками тесеракт існує взаємно однозначна відповідність. Всього існує 23 дерева з 8 вершинами, при розбитті вершин яких на пари несуміжних вершин виходить 261 «здвоєне дерево» з 8 вершинами.

У розповіді Роберта Гайнлайна «Дім, який побудував Тіл» каліфорнійський архітектор Квінтус Тіл будує дім у формі розгортки гіперкубу, який під час землетрусу складається в чотиривимірний тесеракт.

Популярний описРедагувати

Спробуємо уявити собі, як буде виглядати гіперкуб, не виходячи з тривимірного простору.

В одновимірному «просторі» — на лінії — виділимо відрізок АВ довжиною L. На двовимірній площині на відстані L від АВ намалюємо паралельний йому відрізок DC і з'єднаємо їх кінці. Вийде квадрат CDBA. Повторивши цю операцію з площиною, отримаємо тривимірний куб CDBAGHFE. А зсунувши куб в четвертому вимірі (перпендикулярно першим трьом) на відстань L, ми отримаємо гіперкуб CDBAGHFEKLJIOPNM.

 
Побудова тесеракта на площині
 
Розгортка тесеракта

Одновимірний відрізок АВ служить стороною двовимірного квадрата CDBA, квадрат — стороною куба CDBAGHFE, який, в свою чергу, буде стороною чотиривимірного гіперкуба. Відрізок прямої має дві граничні точки, квадрат — чотири вершини, куб — вісім. В чотиривимірному гіперкубі, таким чином, виявиться 16 вершин: 8 вершин вихідного куба і 8 зрушеного в четвертому вимірі. Він має 32 ребра — по 12 дають початкове і кінцеве положення вихідного куба, і ще 8 ребер «намалюють» вісім його вершин, що перемістилися в четвертий вимір. Ті ж міркування можна виконати і для граней гіперкуба. У двовимірному просторі вона одна (сам квадрат), у куба їх 6 (по дві грані від переміщення квадрата і ще чотири опишуть його збоку). Чотиривимірний гіперкуб має 24 квадратні грані — 12 квадратів вихідного куба в двох положеннях і 12 квадратів від дванадцяти його ребер.

Як сторонами квадрата є 4 одновимірних відрізки, а сторонами (гранями) куба є 6 двомірних квадратів, так і для «чотиривимірного куба» сторонами є 8 тривимірних кубів. Простору протилежних пар кубів тесеракт (тобто тривимірні простори, яким ці куби належать) паралельні. На малюнку це куби: CDBAGHFE і KLJIOPNM, CDBAKLJI і GHFEOPNM, EFBAMNJI і GHDCOPLK, CKIAGOME і DLJBHPNF.

Аналогічним чином можна продовжити міркування для гиперкубів більшого числа вимірів, але набагато цікавіше подивитися, як для нас, жителів тривимірного простору, буде виглядати чотиривимірний гіперкуб. Скористаємося для цього вже знайомим шляхом аналогій.

Візьмемо дротяний куб ABCDHEFG і подивимося на нього одним оком з боку межі. Ми побачимо і можемо намалювати на площині два квадрата (ближню і дальню його межі), з'єднані чотирма лініями — бічними ребрами. Аналогічним чином чотиривимірний гіперкуб в просторі трьох вимірів буде виглядати як два кубічних «ящики», вставлених один в одного і з'єднаних вісьмома ребрами. При цьому самі «ящики» — тривимірні грані — будуть проєктуватися на «наш» простір, а лінії, їх з'єднують, простягнуться в напрямку четвертої осі. Можна спробувати також уявити собі куб не в проєкції, а в просторовому зображенні.

Подібно до того, як тривимірний куб утворюється квадратом, зсунутим на довжину грані, куб, зрушений в четвертий вимір, сформує гіперкуб. Його обмежують вісім кубів, які в перспективі будуть виглядати як якась досить складна фігура. Сам же чотиривимірний гіперкуб складається з нескінченної кількості кубів, подібно до того як тривимірний куб можна «нарізати» на нескінченну кількість плоских квадратів.

Розрізавши шість граней тривимірного куба, можна розкласти його в плоску фігуру — розгортку. Вона буде мати по квадрату з кожного боку вихідної межі плюс ще один — грань, їй протилежну. А тривимірна розгортка чотиривимірного гіперкубу буде складатися з вихідного куба, шести кубів, «що виростають» з нього, плюс ще одного — кінцевої «гіперграні».

Властивості тесеракта представляють собою продовження властивостей геометричних фігур меншої розмірності в чотиривимірний простір.

ПроєкціїРедагувати

На двовимірний простірРедагувати

Дана структура складна для уяви, але можливо спроєктувати тесеракт в двовимірному або тривимірному просторі. Крім того, проєктування на площину дозволяє легко зрозуміти розташування вершин гіперкубу. Таким чином, можна отримати зображення, які більше не відображають просторових відношень у межах тесеракта, але які ілюструють структуру зв'язків вершин, як у попередніх прикладах:

 
Показує як отримати тесеракт в результаті комбінування двох кубів
 
Ілюструє той факт, що всі ребра тесеракта мають однакову довжину.Вона примітна тим, що всі вісім кубів мають однаковий вигляд.
 
Демонструє тесеракт в ізометрії, щодо точки побудови. Це зображення потрібне при використанні тесеракта як підстави для топологічної мережі, щоб зв'язати багаторазові процесори в паралельних обчисленнях.

На тривимірний простірРедагувати

Одна з проєкцій тесеракта на тривимірний простір являє собою два вкладених тривимірних куба, відповідні вершини яких з'єднані між собою відрізками. Внутрішній і зовнішній куб мають різні розміри в тривимірному просторі, але в чотиривимірному просторі це рівні куби. Для розуміння рівності всіх кубів тесеракта була створена модель тесеракта що обертається. Шість усічених пірамід по краях тесеракта — це зображення рівних шести кубів. Однак ці куби для тесеракта — як квадрати (межі) для куба. Але насправді тесеракт можна розділити на нескінченну кількість кубів, як куб — на нескінченну кількість квадратів, або квадрат — на нескінченне число відрізків. Ще одна цікава проєкція тесеракта на тривимірний простір являє собою ромбододекаедра з проведеними чотирма його діагоналями, що з'єднують пари протилежних вершин при великих кутах ромбів. При цьому 14 з 16 вершин тесеракта проєктуються в 14 вершин ромбододекаедра, а проєкції інших 2, що залишилися, збігаються в його центрі. У такій проєкції на тривимірний простір зберігаються рівність і паралельність всіх одновимірних, двовимірних і тривимірних сторін.

СтереопараРедагувати

Стереопара тесеракта зображується як дві проєкції на площину одного з варіантів тривимірного уявлення тесеракта. Стереопара розглядається так, щоб кожне око бачило тільки одне з цих зображень, виникає стереоскопічний ефект, що дозволяє краще сприйняти проєкцію тесеракта на тривимірний простір.


Інші назвиРедагувати

  • Гексадекахорон (Hexadecachoron)
  • Октохорон (Octachoron) (від грец. οκτώ —"вісім", а грец. χώρος —"місце/простір")
  • Тетракуб (Tetracub)
  • 4-Куб (4-Cube)
  • Гіперкуб (про будь-який аналог куба з більш ніж трьома розмірностями)

Тесеракт у культуріРедагувати

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

ДжерелаРедагувати