Дерево (теорія графів)
Де́рево в теорії графів — зв'язний граф без циклів[1].
Орієнтоване (спрямоване) дерево — ациклічний орграф (орієнтований граф, що не містить циклів) — той, в якому тільки одна вершина має нульову напівстепінь входу, а всі інші вершини мають напівстепінь входу 1. Вершина з нульовим степенем входу називається коренем дерева, вершини з нульовим напівстепенем виходу (з яких не виходить жодне ребро) називаються кінцевими вершинами або листям.
Формально дерево визначається як скінченна множина T одного або більше вузлів з наступними властивостями:
- Існує один корінь дерева .
- Інші вузли (за винятком кореня) розподілені серед непересічних множин і кожна з множин є деревом; дерева називаються піддеревами даного кореня .
Характеристичні властивості
ред.Найважливіші характеристичні властивості «дерева» висловлюються такими шістьма рівносильними одне одному висловленнями:
- та (визначення «дерева»);
- та ;
- та ;
- для довільної пари вершин x, y в L існує один і тільки один ланцюг, який з'єднує x та y;
- , але якщо із L видалити будь яке ребро, то для отриманого графу L− буде ;
- , але якщо до додати будь яке ребро (не додаючи вершин), то у отриманого графу буде .
Тут — довільний граф, — кількість його вершин, — кількість ребер, — кількість компонент зв'язності, — цикломатичне число.
Довільний граф без циклів часто називають лісом (оскільки кожна його складова — «дерево»). Ордерево, яке росте із x0, — це «дерево», в якому виділено одну вершину x0 («корінь»), а ребра орієнтовані таким чином, що всі ланцюги, які починаються в x0, є шляхами (тобто, їхні дуги орієнтовані в напряму обходу).
Пов'язані визначення
ред.Степінь вершини — кількість інцидентних їй ребер.
Кінцевий вузол (лист, термінальна вершина) — сайт зі ступенем 1 (тобто вузол, у який веде тільки одне ребро; у разі орієнтованого дерева — вузол, який веде тільки одна дуга і не виходить ні однієї дуги).
Вузол розгалуження — некінцевий вузол.
Рівень вузла — довжина шляху від кореня до вузла. Можна визначити рекурсивно:
рівень кореня дерева дорівнює 0;
рівень будь-якого іншого вузла на одиницю більше, ніж рівень кореня найближчого піддерева дерева, що містить цей сайт.
Дерево із позначеною вершиною називається кореневим деревом.
N-й ярус дерева — множина вузлів дерева, на n-ому рівні від кореня дерева.
Частковий порядок на вершинах: якщо вершини різні і вершина лежить на елементарному ланцюзі, що з'єднує корінь з вершиною кореневе дерево з коренем — підграф .
Кістякове дерево (остов) — це підграф даного графу, що містить всі його вершини і є деревом. Ребра графу, що не входять в остов, називаються хордами графу відносно остова.
Незведеним називається дерево, в якому немає вершин ступеня 2.
Ліс — множина дерев, або незв'язний граф без циклів.
- Лінійний ліс — ліс, утворений з диз'юнктного об'єднання шляхів.
Бінарне (двійкове) дерево
ред.Термін бінарне дерево (воно ж двійкове дерево) має кілька значень:
- Неорієнтоване дерево, в якому ступені вершин не перевищують 3.
- Орієнтоване дерево, в якому вихідні ступені вершин (число вихідних ребер) не перевищують 2.
- Абстрактна структура даних, яка використовується в програмуванні. На двійковому дереві засновані такі структури даних, як бінарне дерево пошуку, двійкова купа, червоно-чорне дерево, АВЛ-дерево, фібоначчієва купа та ін.
N-арні дерева
ред.N-арні дерева визначаються за аналогією з двійковим деревом. Для них також є орієнтовані та неорієнтовані випадки, а також відповідні абстрактні структури даних.
- N-арне дерево (неорієнтоване) — це дерево звичайне (неорієнтоване), в якому ступені вершин не перевищують N+1.
- N-арне дерево (орієнтоване) — це орієнтоване дерево, в якому вихідні ступені вершин (число вихідних ребер) не перевершують N.
Властивості
ред.- Дерево не має кратних ребер та петель.
- Будь-яке дерево з вершинами містить ребер. Більш того, скінченний зв'язний граф є деревом, тоді і тільки тоді, коли , де — число вершин, — число ребер графу.
- Граф є деревом, тоді і тільки тоді, коли будь-які дві різні його вершини можна з'єднати єдиним простим ланцюгом.
- Будь-яке дерево однозначно визначається відстанями (найменшою довжиною ланцюга) між його кінцевими (ступеня 1) вершинами.
- Будь-яке дерево є двочастковим графом. Будь-яке дерево, множина вершин якого не більше ніж рахункова, є планарним графом.
- Для будь-яких трьох вершин дерева шляхи між парами цих вершин мають одну спільну вершину.
Підрахунок дерев
ред.Кількість різних дерев, які можна побудувати на нумерованих вершинах, згідно формули Келі дорівнює .
Див. також
ред.- Теорія графів — містить визначення багатьох термінів.
- Дерево (структура даних) — застосування дерев в програмуванні.
- Дерево Тремо
- Псевдоліс
Примітки
ред.- ↑ Дерево // Словник української мови : у 20 т. — К. : Наукова думка, 2010—2022.
Джерела
ред.- Енциклопедія кібернетики, Зиков О. О., т. 1, с. 256.
- Трохимчук, Роман. Теорія графів (PDF) (Українська) . Архів оригіналу (PDF) за 4 березня 2016. Процитовано 27 березня 2016.
- ТЕОРИЯ ГРАФОВ. vuz.exponenta.ru. Архів оригіналу за 12 квітня 2016. Процитовано 27 березня 2016.
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |