В елементарній геометрії, політоп (англ. polytope) — це геометричний об'єкт з «плоскими» сторонами. Поняття політопу узагальнюється на довільне число розмірностей, відповідно числу розмірностей кажуть про n-політоп. Наприклад, двовимірний багатокутник є 2-політопом, а тривимірний багатогранник є 3-політопом. Під пласкими сторонами (k+1)-політопу розуміють сторони на одиницю меншої розмірності — k-політопи.

Деякі види двовимірних політопів: відкритий (межа не включена), тільки межа (внутрішність не включена), замкнений (містить і межу, і внутрішність) та з самоперетинами (різні ділянки мають різне заповнення).

Деякі теорії узагальнюють ідею політопу та розглядають такі об'єкти як необмежені апейротоп[en] і мозаїку, розбиття або замощення викривлених многовидів, включаючи, наприклад, сферичні багатогранники[en], та теоретико-множинні абстрактні політопи.

Підходи до визначенняРедагувати

Термін політоп — це в даний час широкий термін, який охоплює широкий клас об'єктів, а також різні визначення, підтверджені в математичній літературі. Багато з цих визначень не еквівалентні, що призводить до різних наборів об'єктів, що знаходяться під назвою політопів. Вони являють собою різні підходи до узагальнення опуклих політопів, щоб включити інші об'єкти з аналогічними властивостями.

Оригінальний підхід за Людвігом Шлефлі, Торольдом Госсе та інших починається з розширенням за аналогією на чотири або більше виміри, ідеї багатокутника і багатогранника відповідно в двох і трьох вимірах.

Спроби узагальнити ейлерову характеристику багатогранників до багатовимірних багатогранників привело до розробки топології і трактування розкладання або CW-комплексу як аналога до багатогранника. При такому підході багатогранник можна розглядати як теселяцію або розкладання деякого заданого многовиду. Прикладом такого підходу багатогранник визначається як безліч точок, які допускає симпліціальне розкладання. У цьому визначенні багатогранник є об'єднанням скінченного числа симплексів, з додатковою властивістю, що для будь-яких двох симплексів, які мають непорожній перетин, їхній перетин є вершиною, ребром або гранню вищої міри ніж два.[1] Однак це визначення не дозволяє існуванню зіркових багатогранників з внутрішніми структурами, і тому є обмеженим певними областями математики.

Відкриття зіркових багатогранників та інших незвичайних конструкцій призвело до ідеї багатогранника як обмежувальної поверхні, ігноруючи її внутрішню частину. У цьому світлі опуклі багатогранники в р-просторі еквівалентні замощенню ( р -1)-сфери, в той час як інші можуть бути замощенні іншою еліптичної, плоскою аботороідальною ( р -1)-поверхнею. Політоп розуміється як поверхня, чиї грані є багатокутники, а 4-політоп як гіперповерхня, чиї межі (грані) є багатогранники, і так далі.

Ідея побудови більш високих багатогранників від меншої розмірності також іноді поширюється вниз за розміром, з краєм, який розглядається як 1-політоп, обмежений парою точок, а точка або вершина як 0-політоп. Такий підхід використовується, наприклад, в теорії абстрактних політопів.

У деяких галузях математики, терміни «політоп» і «багатогранник» використовуються в різному сенсі: багатогранник є загальним об'єктом в будь-якому вимірі і політоп означає — обмежений багатогранник.[2] Ця термінологія, як правило, обмежується на політопи і багатогранникі, які є опуклими. За допомогою цієї термінології, опуклий багатогранник є перетином кінцевого числа напівпросторів і визначається його сторонами, в той час як опуклий політоп є опуклою оболонкою кінцевого числа точок і визначається його вершинами.

ЕлементиРедагувати

Політоп містить елементи різної розмірності, такі як вершини, ребра, грані, клітини і так далі. Термінологія для них не в повній мірі відповідає одна одній за різними авторами. Наприклад, деякі автори використовують грань для позначення (n — 1)-вимірного елементу, в той час як інші використовують грань для позначення конкретно 2-вимірної грані. Автори можуть використовувати J -грань для того, щов вказати елемент J розміру. Деякі з них використовують край, щоб звернутися до гребеня, в той час як Коксетер використовує клітину для позначення (n — 1)-вимірного елементу.

Терміни, прийняті в цій статті наведені в таблиці нижче:

Розмір 

елемента

Термін 

(n-політоп)

-1 Нульовий політоп (необхідний в абстрактній теорії)
0 вершина
1 ребро
2 грань
3 комірка
…. ….
J J -гранний — елемент рангу J = -1, 0, 1, 2, 3, …, N
п — 2 Рідж або губгрань — ( n — 2)-гранний
п — 1 фасета — ( n — 1)-гранна
N Тіло — n -гранне

n —вимірний багатогранник обмежений числом (n — 1)-вимірних фасет. Ці фасети є самі політопами, чиї фасети (n — 2)-вимірних гребені оригінального політопа. Кожен гребінь виникає як перетин двох граней (але перетин двох граней не обов'язково повинен бути гребінем). Гребені це політопи, чиї фасети призводять до (n — 3)-вимірних меж оригінального політопу, і так далі. Ці обмежуючи суб-політопи можуть бути віднесені до граней, або конкретніше J -вимірних граней. 0-вимірна грань називається вершиною, і складається з однієї точки. 1-вимірна грань називається ребром, і є відрізком. 2-вимірна грань є багатокутником, а 3-вимірна грань, яку іноді називають коміркою, є багатогранником.

ВластивостіРедагувати

  • Кожен політоп допускає тріангуляцію; тобто, може бути поданий як об'єднання скінченної множини симплексів   таких що
  • для будь-якого з симплексів з   в   входять всі його грані;
  • будь-які два симплекси або взагалі не мають спільної точки, або перетинаються тільки по цілій грані певної розмірности.
  • Перетин і об'єднання скінченного числа політопів є політопом.

Варіації і узагальненняРедагувати

Топологічний політоп — топологічний простір, гомеоморфний деякому політопа.

ЗастосуванняРедагувати

При вивченні оптимізаціїлінійне програмування вивчає максимуми і мінімуми лінійних функцій звужених до меж n-вимірного політопа.

У лінійному програмуванні, політопи виникають при використанні узагальнених барицентричних координат.

У твісторній теорії, галузі теоретичної фізики, політоп, який називається амплітуедр, використовується для розрахунку амплітуди розсіювання субатомних частинок при їх зіткненні. Конструкція носить чисто теоретичний характер, без відомої фізичної прояви, але введені для того, щоб значно спростити деякі розрахунки.

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Grünbaum (2003)
  2. Nemhauser and Wolsey, "Integer and Combinatorial Optimization," 1999, ISBN 978-0471359432, Definition 2.2.

ДжерелаРедагувати