Правильний ікосаедр

Правильний ікоса́едр (від грец. εικοσάς, «двадцять» і грец. —εδρον, «грань», «лице», «основа») — правильний опуклий многогранник, двадцятигранник, одне з Платонових тіл. Кожна з 20 граней є рівностороннім трикутником. Число ребер рівне 30, число вершин — 12.

Формули ред.

Площа S, об'єм V ікосаедра з довжиною ребра a, а також радіуси вписаної і описаної куль обчислюються за формулами:

$S=5{\sqrt {3}}a^{2}$ ;

$V={\begin{matrix}{5 \over 12}\end{matrix}}(3+{\sqrt {5}})a^{3}$ ;

$r={\begin{matrix}{1 \over {4{\sqrt {3}}}}\end{matrix}}(3+{\sqrt {5}})a$ ;

$R={\begin{matrix}{1 \over 4}\end{matrix}}{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}a$ .

Золоті прямокутники в ікосаедрі

Вершини ікосаедра з довжиною ребра 2 і центром в початку координат визначають такі декартові координати:

(0, ±1, ±φ);

(±1, ±φ, 0);

(±φ, 0, ±1),

де φ = (1+√5)/2 є «золотим перетином». Зауважте, що ці набори вершин формують взаємно відцентровані і взаємно ортогональні золоті прямокутники.

Ікосаедр можна вписати в куб, при цьому його шість взаємно паралельних ребер розташовуватимуться відповідно на шести гранях куба, решта 24 ребра - усередині куба, а усі дванадцять вершин ікосаедра лежатимуть на шести гранях куба.
В ікосаедр може бути вписаний тетраедр, притому чотири вершини тетраедра будуть суміщені з чотирма вершинами ікосаедра.
Ікосаедр можна вписати в додекаедр, притому вершини ікосаедра будуть суміщені з центрами граней додекаедра.
У ікосаедр можна вписати додекаедр, притому вершини додекаедра будуть суміщені з центрами граней ікосаедра.

Розгортка ікосаедра