Архімедове тіло

високо симетричний напівправильний опуклий багатогранник, гранями якого є два або більше типів правильних багатокутників, що примикають

В геометрії архімедове тіло (архімедів багатогранник) — це високо симетричний напівправильний опуклий багатогранник, гранями якого є два або більше типів правильних багатокутників, що примикають до ідентичних вершин. Вони відрізняються від платонових тіл (правильних багатогранників), які складаються тільки з одного типу багатокутників в однакових вершинах, і від багатогранників Джонсона, правильні багатокутні грані яких належать різним типам вершин.

Ромбозрізаний ікосододекаедр є найбільшим архімедовим тілом за об'ємом (для одиничної довжини ребра), а також з найбільшою кількістю вершин і ребер.
Псевдоромбокубооктаедр має одну вершинну фігуру, 3.4.4.4, але з поворотом одного квадратного купола. На відміну від (не повернутого) ромбокубооктаедра, фігура не є вершинно транзитивною.

Тут поняття «ідентичні вершини» означає, що для будь-яких двох вершин існує ізометрія всього тіла, яка переводить одну вершину в іншу. Іноді тільки потрібно, щоб грані, прилеглі до однієї вершини, були ізометричними граням при іншій вершині. Ця різниця в термінах визначає, вважається подовжений квадратний гіробікупол[ru] (псевдоромбокубооктаедр) архімедовим тілом чи багатогранником Джонсона — це єдиний опуклий багатогранник, в якому багатокутні межі примикають до вершини однаковим способом у кожній вершині, але багатогранник не має глобальної симетрії, яка б переводила будь-яку вершину в будь-яку іншу. Ґрунтуючись на існуванні псевдоромбокубооктаедра, Ґрюнбаум[en][1] запропонував термінологічну відмінність, у якій архімедове тіло визначається як таке, що має одну і ту ж вершинну фігуру в кожній вершині (включно з подовженим квадратним гіробікуполом), тоді як однорідний багатогранник[en] визначається як тіло, у якого будь-яка вершина симетрична будь-який інший (що виключає гіробікупол[ru]).

Призми і антипризми, групами симетрій яких є діедричні групи, як правило, не вважаються архімедовим тілами, незважаючи на те, що вони підпадають під визначення, дане вище. З цим обмеженням існує тільки скінченне число архімедових тіл. Всі тіла, крім подовженого квадратного гіробікупола, можна отримати побудовами Вітгоффа[ru] з платонових тіл за допомогою тетраедральної[ru], октаедральної[en] і ікосаедральної[ru] симетрій.

Походження назвиРедагувати

Архімедові тіла отримали назву на честь Архімеда, який обговорював їх у нині втраченій роботі. Папп посилається на цю роботу і стверджує, що Архімед перелічив 13 багатогранників[1]. За часів Відродження художники і математики цінували чисті форми і перевідкрити їх усі. Ці дослідження були майже повністю закінчені близько 1620 року Йоганном Кеплером[2], який визначив поняття призм, антипризм і неопуклих тіл, відомих як тіла Кеплера - Пуансо.

Кеплер, можливо, знайшов також подовжений квадратний гіробікупол (псевдоромбоікосаедр) — щонайменше, він стверджував, що є 14 архімедових тіл. Однак його опубліковані переліки включають тільки 13 однорідних багатогранників, і перше ясне твердження про існування псевдоромбоікосаедра зробив 1905 року Дункан Соммервіль[1].

КласифікаціяРедагувати

Існує 13 архімедових тіл (не рахуючи подовженого квадратного гіробікупола; 15, якщо враховувати дзеркальні відображення двох енантіоморфів, які нижче перелічені окремо).

Тут вершинна конфігурація відноситься до типів правильних багатокутників, які примикають до вершини. Наприклад, вершинна конфігурація (4,6,8) означає, що квадрат, шестикутник і восьмикутник зустрічаються у вершині (порядок переліку береться за годинниковою стрілкою відносно вершини).

Назва
(альтернативна назва)
Шлефлі
Коксетер
Прозорий Непрозорий Розгортка Вершинна
фігура
Граней Ребер Вершин Об'єм
(за одинич-
ного ребра)
Група
точок
Зрізаний тетраедр {3,3}
     
 
(Обертання)
    3.6.6
 
8 4 трикутники
4 шестикутники
18 12 2.710576 Td
Кубооктаедр
(ромботетраедр)
r{4,3} або rr{3,3}
      або      
 
(Обертання)
    3.4.3.4
 
14 8 трикутників
6 квадратів
24 12 2.357023 Oh
Зрізаний куб t{4,3}
     
 
(Обертання)
    3.8.8
 
14 8 трикутників
6 восьмикутників
36 24 13.599663 Oh
Зрізаний октаедр
(зрізаний тетратераедр)
t{3,4} або tr{3,3}
      або      
 

(Обертання)

    4.6.6
 
14 6 квадратів
8 шестикутників
36 24 11.313709 Oh
Ромбокубооктаедр
(малий ромбокубооктаедр)
rr{4,3}
     
 
(Обертання)
    3.4.4.4
 
26 8 трикутників
18 квадратів
48 24 8.714045 Oh
Зрізаний кубооктаедр
(великий ромбокубооктаедр)
tr{4,3}
     
 
(Обертання)
    4.6.8
 
26 12 квадратів
8 шестикутників
6 восьмикутників
72 48 41.798990 Oh
Кирпатий куб
(кирпатий кубоктаедр)
sr{4,3}
     
 
(Обертання)
    3.3.3.3.4
 
38 32 трикутники
6 квадратів
60 24 7.889295 O
Ікосододекаедр r{5,3}
     
 
(Обертання)
    3.5.3.5
 
32 20 трикутників
12 п'ятикутників
60 30 13.835526 Ih
Зрізаний додекаедр t{5,3}
     
 
(Обертання)
    3.10.10
 
32 20 трикутників
12 десятикутників
90 60 85.039665 Ih
Зрізаний ікосаедр t{3,5}
     
 
(Обертання)
    5.6.6
 
32 12 п'ятикутників
20 шестикутників
90 60 55.287731 Ih
Ромбоікосододекаедр
(малий ромбоікосододекаедр)
rr{5,3}
     
 
(Обертання)
    3.4.5.4
 
62 20 трикутників
30 квадратів
12 п'ятикутників
120 60 41.615324 Ih
Ромбозрізаний ікосододекаедр tr{5,3}
     
 
(Обертання)
    4.6.10
 
62 30 квадратів
20 шестикутників
12 десятикутників
180 120 206.803399 Ih
Плосконосий додекаедр
(плосконосий ікосододекаедр)
sr{5,3}
     
 
(Обертання)
    3.3.3.3.5
 
92 80 трикутників
12 п'ятикутників
150 60 37.616650 I

Деякі визначення напівправильних багатогранників включають ще одне тіло — подовжений квадратний гіробікупол або «псевдоромбокубооктаедр»[3].

ВластивостіРедагувати

Число вершин дорівнює відношенню 720° до кутового дефекту при вершині.

Кубоктаедр і ікосододекаедр є реберно-однорідними і називаються квазіправильними[ru].

Дуальні багатогранники архімедових тіл називаються каталановими тілами. Разом з біпірамідами і трапецоедрами вони є гране-однорідними тілами з правильними вершинами.

ХіральністьРедагувати

Плосконосий куб і плосконосий додекаедр хіральні, оскільки вони з'являються в лівосторонньому і правосторонньому варіантах. Якщо щось має кілька видів, які є тривимірним дзеркальним відображенням один одного, ці форми називають енантіоморфами (ця назва застосовується також для деяких форм хімічних сполук).

Побудова архімедових тілРедагувати

 
Архімедові тіла можуть бути побудовані за допомогою положення генератора в калейдоскопі

Різні архімедові і платонові тіла можуть бути отримані одне з одного за допомогою декількох операцій. Починаючи з платонових тіл, можна використовувати операцію зрізання[ru] кутів. Для збереження симетрії зрізання виконується площиною, перпендикулярною до прямої, що з'єднує кут з центром багатокутника. Залежно від того, наскільки глибоко виконується зрізання (див. таблицю нижче), отримаємо різні платонові і архімедові (й інші) тіла. Розширення[ru] або скошування[ru] здійснюється шляхом руху граней у напрямку від центра (на однакову відстань, щоб зберегти симетрію) і створенням, потім, опуклої оболонки. Розширення з поворотом здійснюється також обертанням граней, це ламає прямокутники, що виникають на місцях ребер, на трикутники. Остання побудова, яке ми тут розглянемо, це зрізання як кутів, так і ребер. Якщо нехтувати масштабування, розширення можна також розглядати як зрізання кутів і ребер, але з певним відношенням між зрізаннями кутів і ребер.

Побудова архімедових тіл
Симетрія Тетраедральна
 
Октаедральна[en]
 
Ікосаедральна
 
Початкове тіло
Операція
Символ
{p, q}
     
Тетраедр
{3,3}
 
Куб
{4,3}
 
Октаедр
{3,4}
 
Додекаедр
{5,3}
 
Ікосаедр
{3,5}
 
Зрізання (t) t{p, q}
     
Зрізаний тетраедр
 
Зрізаний куб
 
Зрізаний октаедр
 
Зрізаний додекаедр
 
Зрізаний ікосаедр
 
Повне зрізання (r)
Амвон (a)
r{p, q}
     
Тетратетраедр
 
Кубооктаедр
 
Ікосододекаедр
 
Глибоке зрізання[en] (2t)
(dk)
2t{p, q}
     
Зрізаний тетраедр
 
Зрізаний октаедр
 
Зрізаний куб
 
Зрізаний ікосаедр
 
Зрізаний додекаедр
 
Подвійне повне зрізання (2r)
Двоїстий (d)
2r{p, q}
     
Тетраедр
 
Октаедр
 
Куб
 
Ікосаедр
 
Додекаедр
 
Скошування (rr)
Розширення (e)
rr{p, q}
     
Кубооктаедр
 
Ромбокубооктаедр
 
Ромбоікосододекаедр
 
Плосконосе спрямлення (sr)
Спрямлення[en] (s)
sr{p, q}
     
Плосконосий тетратетраедр
 
Кирпатий куб
 
Плосконосий ікосододекаедр
 
скіс-зрізання[en] (tr)
Скошування (b)
tr{p, q}
     
Зрізаний октаедр
 
Зрізаний кубооктаедр
 
Ромбозрізаний ікосододекаедр
 

Зауважимо двоїстість між кубом і октаедром і між додекаедром і ікосаедром. Також, частково внаслідок самодвоїстості тетраедра, тільки одне архімедове тіло має тільки одну тетраедральную симетрію.

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. а б в Grünbaum, 2009.
  2. Field, 1997, с. 241—289.
  3. Malkevitch, 1988, с. 85.

ЛітератураРедагувати

  • Field J. . Rediscovering the Archimedean Polyhedra: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Daniele Barbaro, and Johannes Kepler // Archive for History of Exact Sciences. — Springer, 1997. — Vol. 50, no. 3-4. — ISSN 0003-9519.
  • Grünbaum, Branko. . An enduring error // Elemente der Mathematik. — 2009. — Vol. 64, no. 3. — P. 89–101. — DOI:10.4171/EM/120.. Перепечатано в The Best Writing on Mathematics 2010. — Princeton University Press, 2011. — P. 18–31.
  • Malkevitch, Joseph. . Shaping Space: A Polyhedral Approach / M. Senechal, G. Fleck. — Boston : Birkhäuser, 1988. — P. 80–92.
  • Pugh, Anthony. . Polyhedra: A visual approach. — California : University of California Press Berkeley, 1976. — ISBN 0-520-03056-7. Chapter 2
  • Udaya, Jayatilake. . Calculations on face and vertex regular polyhedral // Mathematical Gazette. — 2005. — Vol. 89, no. 514. — P. 76–81.
  • Williams, Robert. . The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — Dover Publications, Inc., 1979. — ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)

ПосиланняРедагувати