Вікіпедія

Архімедове тіло

високо симетричний напівправильний опуклий багатогранник, гранями якого є два або більше типів правильних багатокутників, що примикають

В геометрії архімедове тіло (архімедів многогранник) — це високо симетричний напівправильний опуклий многогранник, гранями якого є два або більше типів правильних многокутників, що примикають до ідентичних вершин. Вони відрізняються від платонових тіл (правильних многогранників), які складаються тільки з одного типу многокутників в однакових вершинах, і від многогранників Джонсона, правильні многокутні грані яких належать різним типам вершин.

Ромбозрізаний ікосододекаедр є найбільшим архімедовим тілом за об'ємом (для одиничної довжини ребра), а також з найбільшою кількістю вершин і ребер.
Псевдоромбокубооктаедр має одну вершинну фігуру, 3.4.4.4, але з поворотом одного квадратного купола. На відміну від (не повернутого) ромбокубооктаедра, фігура не є вершинно-транзитивною.

Тут поняття «ідентичні вершини» означає, що для будь-яких двох вершин існує ізометрія всього тіла, яка переводить одну вершину в іншу. Іноді тільки потрібно, щоб грані, прилеглі до однієї вершини, були ізометричними граням при іншій вершині. Ця різниця в термінах визначає, вважається подовжений квадратний гіробікупол[ru] (псевдоромбокубооктаедр) архімедовим тілом чи многогранником Джонсона — це єдиний опуклий многогранник, в якому многокутні межі примикають до вершини однаковим способом у кожній вершині, але многогранник не має глобальної симетрії, яка б переводила будь-яку вершину в будь-яку іншу. Ґрунтуючись на існуванні псевдоромбокубооктаедра, Ґрюнбаум[1] запропонував термінологічну відмінність, у якій архімедове тіло визначається як таке, що має одну і ту ж вершинну фігуру в кожній вершині (включно з подовженим квадратним гіробікуполом), тоді як однорідний многогранник визначається як тіло, у якого будь-яка вершина симетрична будь-який інший (що виключає гіробікупол[ru]).

Призми і антипризми, групами симетрій яких є діедричні групи, як правило, не вважаються архімедовим тілами, незважаючи на те, що вони підпадають під визначення, дане вище. З цим обмеженням існує тільки скінченне число архімедових тіл. Всі тіла, крім подовженого квадратного гіробікупола, можна отримати побудовами Вітгоффа з платонових тіл за допомогою тетраедричної, октаедричної[en] і ікосаедричної[ru] симетрій.

Походження назви

ред.

Архімедові тіла отримали назву на честь Архімеда, який обговорював їх у нині втраченій роботі. Папп посилається на цю роботу і стверджує, що Архімед перелічив 13 многогранників[1]. За часів Відродження художники і математики цінували чисті форми і перевідкрити їх усі. Ці дослідження були майже повністю закінчені близько 1620 року Йоганном Кеплером[2], який визначив поняття призм, антипризм і неопуклих тіл, відомих як тіла Кеплера - Пуансо.

Кеплер, можливо, знайшов також подовжений квадратний гіробікупол (псевдоромбоікосаедр) — щонайменше, він стверджував, що є 14 архімедових тіл. Однак його опубліковані переліки включають тільки 13 однорідних многогранників, і перше ясне твердження про існування псевдоромбоікосаедра зробив 1905 року Дункан Соммервіль[1].

Класифікація

ред.

Існує 13 архімедових тіл (не рахуючи подовженого квадратного гіробікупола; 15, якщо враховувати дзеркальні відображення двох енантіоморфів, які нижче перелічені окремо).

Тут вершинна конфігурація відноситься до типів правильних многокутників, які примикають до вершини. Наприклад, вершинна конфігурація (4,6,8) означає, що квадрат, шестикутник і восьмикутник зустрічаються у вершині (порядок переліку береться за годинниковою стрілкою відносно вершини).

Назва
(альтернативна назва) 		Шлефлі
Коксетер 		Прозорий Непрозорий Розгортка Вершинна
фігура 		Граней Ребер Вершин Об'єм
(за одинич-
ного ребра) 		Група
точок
Зрізаний тетраедр {3,3}
      		 
(Обертання) 		    3.6.6
  		8 4 трикутники
4 шестикутники 		18 12 2.710576 Td
Кубооктаедр
(ромботетраедр) 		r{4,3} або rr{3,3}
      або       		 
(Обертання) 		    3.4.3.4
  		14 8 трикутників
6 квадратів 		24 12 2.357023 Oh
Зрізаний куб t{4,3}
      		 
(Обертання) 		    3.8.8
  		14 8 трикутників
6 восьмикутників 		36 24 13.599663 Oh
Зрізаний октаедр
(зрізаний тетратераедр) 		t{3,4} або tr{3,3}
      або       		 

(Обертання)

    4.6.6
  		14 6 квадратів
8 шестикутників 		36 24 11.313709 Oh
Ромбокубооктаедр
(малий ромбокубооктаедр) 		rr{4,3}
      		 
(Обертання) 		    3.4.4.4
  		26 8 трикутників
18 квадратів 		48 24 8.714045 Oh
Зрізаний кубооктаедр
(великий ромбокубооктаедр) 		tr{4,3}
      		 
(Обертання) 		    4.6.8
  		26 12 квадратів
8 шестикутників
6 восьмикутників 		72 48 41.798990 Oh
Кирпатий куб
(кирпатий кубоктаедр) 		sr{4,3}
      		 
(Обертання) 		    3.3.3.3.4
  		38 32 трикутники
6 квадратів 		60 24 7.889295 O
Ікосододекаедр r{5,3}
      		 
(Обертання) 		    3.5.3.5
  		32 20 трикутників
12 п'ятикутників 		60 30 13.835526 Ih
Зрізаний додекаедр t{5,3}
      		 
(Обертання) 		    3.10.10
  		32 20 трикутників
12 десятикутників 		90 60 85.039665 Ih
Зрізаний ікосаедр t{3,5}
      		 
(Обертання) 		    5.6.6
  		32 12 п'ятикутників
20 шестикутників 		90 60 55.287731 Ih
Ромбоікосододекаедр
(малий ромбоікосододекаедр) 		rr{5,3}
      		 
(Обертання) 		    3.4.5.4
  		62 20 трикутників
30 квадратів
12 п'ятикутників 		120 60 41.615324 Ih
Ромбозрізаний ікосододекаедр tr{5,3}
      		 
(Обертання) 		    4.6.10
  		62 30 квадратів
20 шестикутників
12 десятикутників 		180 120 206.803399 Ih
Кирпатий додекаедр
(кирпатий ікосододекаедр) 		sr{5,3}
      		 
(Обертання) 		    3.3.3.3.5
  		92 80 трикутників
12 п'ятикутників 		150 60 37.616650 I

Деякі визначення напівправильних многогранників включають ще одне тіло — подовжений квадратний гіробікупол або «псевдоромбокубооктаедр»[3].

Властивості

ред.

Число вершин дорівнює відношенню 720° до кутового дефекту при вершині.

Кубоктаедр і ікосододекаедр є реберно-однорідними і називаються квазіправильними[ru].

Дуальні многогранники архімедових тіл називаються каталановими тілами. Разом з біпірамідами і трапецоедрами вони є гране-однорідними тілами з правильними вершинами.

Хіральність

ред.

Кирпатий куб і кирпатий додекаедр хіральні, оскільки вони з'являються в лівосторонньому і правосторонньому варіантах. Якщо щось має кілька видів, які є тривимірним дзеркальним відображенням один одного, ці форми називають енантіоморфами (ця назва застосовується також для деяких форм хімічних сполук).

Побудова архімедових тіл

ред.
 
Архімедові тіла можуть бути побудовані за допомогою положення генератора в калейдоскопі

Різні архімедові і платонові тіла можуть бути отримані одне з одного за допомогою декількох операцій. Починаючи з платонових тіл, можна використовувати операцію зрізання кутів. Для збереження симетрії зрізання виконується площиною, перпендикулярною до прямої, що з'єднує кут з центром многокутника. Залежно від того, наскільки глибоко виконується зрізання (див. таблицю нижче), отримаємо різні платонові і архімедові (й інші) тіла. Розширення[ru] або скошування[ru] здійснюється шляхом руху граней у напрямку від центра (на однакову відстань, щоб зберегти симетрію) і створенням, потім, опуклої оболонки. Розширення з поворотом здійснюється також обертанням граней, це ламає прямокутники, що виникають на місцях ребер, на трикутники. Остання побудова, яке ми тут розглянемо, це зрізання як кутів, так і ребер. Якщо нехтувати масштабування, розширення можна також розглядати як зрізання кутів і ребер, але з певним відношенням між зрізаннями кутів і ребер.

Побудова архімедових тіл
Симетрія Тетраедрична
  		Октаедрична[en]
  		Ікосаедрична
 
Початкове тіло
Операція 		Символ
{p, q}
      		Тетраедр
{3,3}
  		Куб
{4,3}
  		Октаедр
{3,4}
  		Додекаедр
{5,3}
  		Ікосаедр
{3,5}
 
Зрізання (t) t{p, q}
      		Зрізаний тетраедр
  		Зрізаний куб
  		Зрізаний октаедр
  		Зрізаний додекаедр
  		Зрізаний ікосаедр
 
Повне зрізання (r)
Амвон (a) 		r{p, q}
      		Тетратетраедр
  		Кубооктаедр
  		Ікосододекаедр
 
Глибоке зрізання[en] (2t)
(dk) 		2t{p, q}
      		Зрізаний тетраедр
  		Зрізаний октаедр
  		Зрізаний куб
  		Зрізаний ікосаедр
  		Зрізаний додекаедр
 
Подвійне повне зрізання (2r)
Двоїстий (d) 		2r{p, q}
      		Тетраедр
  		Октаедр
  		Куб
  		Ікосаедр
  		Додекаедр
 
Скошування (rr)
Розширення (e) 		rr{p, q}
      		Кубооктаедр
  		Ромбокубооктаедр
  		Ромбоікосододекаедр
 
Кирпате спрямлення (sr)
Спрямлення[en] (s) 		sr{p, q}
      		Кирпатий тетратетраедр
  		Кирпатий куб
  		Кирпатий ікосододекаедр
 
скіс-зрізання[en] (tr)
Скошування (b) 		tr{p, q}
      		Зрізаний октаедр
  		Зрізаний кубооктаедр
  		Ромбозрізаний ікосододекаедр
 

Зауважимо двоїстість між кубом і октаедром і між додекаедром і ікосаедром. Також, частково внаслідок самодвоїстості тетраедра, тільки одне архімедове тіло має тільки одну тетраедричну симетрію.

Див. також

ред.

Примітки

ред.
  1. ↑ а б в Grünbaum, 2009.
  2. ↑ Field, 1997, с. 241—289.
  3. ↑ Malkevitch, 1988, с. 85.

Література

ред.
  • Field J. . Rediscovering the Archimedean Polyhedra: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Daniele Barbaro, and Johannes Kepler // Archive for History of Exact Sciences. — Springer, 1997. — Vol. 50, no. 3-4. — ISSN 0003-9519.
  • Grünbaum, Branko. . An enduring error // Elemente der Mathematik. — 2009. — Vol. 64, no. 3. — P. 89–101. — DOI:10.4171/EM/120.. Перепечатано в The Best Writing on Mathematics 2010. — Princeton University Press, 2011. — P. 18–31.
  • Malkevitch, Joseph. . Shaping Space: A Polyhedral Approach / M. Senechal, G. Fleck. — Boston : Birkhäuser, 1988. — P. 80–92.
  • Pugh, Anthony. . Polyhedra: A visual approach. — California : University of California Press Berkeley, 1976. — ISBN 0-520-03056-7. Chapter 2
  • Udaya, Jayatilake. . Calculations on face and vertex regular polyhedral // Mathematical Gazette. — 2005. — Vol. 89, no. 514. — P. 76–81.
  • Williams, Robert. . The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — Dover Publications, Inc., 1979. — ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)

Посилання

ред.
Отримано з https://uk.wikipedia.org/w/index.php?title=Архімедове_тіло&oldid=43770949