Побудова Вітгоффа

спосіб побудови однорідних многогранників або паркетів

Побудова Вітгоффа, або конструкція Вітгоффа[1] — метод побудови однорідних многогранників або мозаїк на площині. Метод названо за ім'ям математика В. А. Вітгоффа[en]. Часто метод побудови Вітгоффа називають калейдоскопною побудовою.

Побудови Вітгоффа з трьома дзеркалами, що утворюють прямокутний трикутник.

ПобудоваРедагувати

Побудова ґрунтується на ідеї мозаїк на сфері з використанням сферичних трикутників — див. трикутники Шварца. Ця побудова використовує відбиття відносно сторін трикутника подібно до калейдоскопа. Проте, на відміну від калейдоскопа, відбиття не паралельні, а перетинаються в одній точці. Багаторазові відбиття утворюють кілька копій трикутника. Якщо кути сферичного трикутника вибрано правильно, трикутники покривають сферу мозаїкою один або більше разів.

Якщо помістити точку у відповідне місце всередині сферичного трикутника, оточеного дзеркалами, можна досягти, щоб відбиття цієї точки дали однорідний многогранник. Для сферичного трикутника ABC є чотири позиції, які дають однорідний многогранник:

  1. Точка розташована у вершині A. Вона дає многогранник зі символом Вітгоффа a|b c, де a дорівнює π, поділеному на кут трикутника при вершині A. Аналогічно для b і c.
  2. Точка розташована на відрізку AB в основі бісектриси кута при вершині C. Вона дає многогранник зі символом Вітгоффа a b|c.
  3. Точка розташована в інцентрі трикутника ABC. Вона дає многогранник зі символом Вітгоффа a b c|.
  4. Точка розташована так, що при обертанні її навколо вершин трикутника на подвоєний кут при цих вершинах вона переміщається на однакову відстань. Використовуються лише парні відбиття. Многогранник має символ Вітгоффа |a b c.

Процес, у загальному випадку, застосовується і для отримання правильних політопів у просторах вищих розмірностей, зокрема 4-вимірні однорідні політопи[en].

Приклади
 
 
Шестикутна призма будується як із сімейства (6 2 2), так і з сімейства (3 2 2).
  
Зрізана квадратна мозаїка[en] будується за допомогою двох різних позицій у сімействі (4 4 2).

Невітгоффова побудоваРедагувати

Однорідні многогранники, які не можна побудувати за допомогою дзеркальної побудови Вітгоффа, називають невітгоффовими. Їх, у загальному випадку, можна отримати з вітгоффових побудов або альтернацією[en] (видалення вершин через одну) або вставленням чергованих рядів деяких фігур. Обидва типи таких фігур мають обертальну симетрію. Іноді вважають вітгоффовими многогранники, отримані зрізанням вершин[ru], навіть якщо їх можна отримати альтернацією зрізаних з усіх боків фігур.

Приклади
 Шестикутна антипризма будується за допомогою альтернації дванадцятикутної призми[en].   Подовжена тикутна мозаїка[en] будується чергуванням рядків квадратної мозаїки і трикутної мозаїки.   Великий біромбоікосододекаедр[en] — єдиний невітгоффів однорідний многогранник.

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • H. S. M. Coxeter. Chapter 5: The Kaleidoscope, Section: 5.7 Wythoff's construction // Regular Polytopes[en]. — Dover edition, 1973. — ISBN 0-486-61480-8.
  • Coxeter. Chapter 3: Wythoff's Construction for Uniform Polytopes // The Beauty of Geometry: Twelve Essays. — Dover Publications, 1999. — ISBN 978-0-486-40919-1.
  • Har'El, Z. Uniform Solution for Uniform Polyhedra // Geometriae Dedicata. — 1993. — № 47 (25 листопада). — С. 57—110. Архівовано з джерела 15 липня 2009. Section 4: The Kaleidoscope.
  • W.A. Wythoff[en]. A relation between the polytopes of the C600-family // Proceedings of the Section of Sciences. — Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, 1918. — № 20 (25 листопада). — С. 966—970.
  • А. Ю. Веснин. Прямоугольные многогранники и трехмерные гиперболические многообразия. — УМН. — 2017. — С. 147–190.

ПосиланняРедагувати