Тороїдальний многогранник

У геометрії тороїдальний многогранник — це многогранник, який є також тороїдом (тор з g дірками), має топологічний рід g, рівний 1 або вище.

Розширений кубооктаедр[en] з видаленими ромбовидними гранями як тороїдальний многогранник роду 11. Усі грані цього многогранника є правильними многокутниками.
Можна побудувати многокутний тор для наближення до поверхні тора розгорткою з чотирикутними гранями, як показано на цьому прикладі.

Варіанти визначенняРедагувати

Тороїдальні багатогранники визначаються як набір багатокутників, які мають спільні вершини і ребра, утворюючи многовид. Тобто, кожне ребро має бути спільним рівно для двох багатокутників, вершинна фігура[en] кожної з вершин має бути одним циклом з багатокутників, яким дана вершина належить. Для тороїдальних багатогранників цей многовид буде орієнтованою поверхнею[1]. Деякі автори обмежують поняття «тороїдальний багатогранник» до багатогранників, топологічно еквівалентних (роду 1) тору[2].

Тут слід розрізняти вкладені тороїдальні багатогранники, межі яких є плоскими багатокутниками в тривимірному евклідовому просторі, які не перетинають один одного, від абстрактних багатогранників, топологічних поверхонь без певної геометричної реалізації[3]. Серединою між цими двома крайнощами можна вважати занурені тороїдальні багатогранники, тобто багатогранники, утворені багатокутниками або зіркоподібними багатокутниками в евклідовому просторі, яким дозволено перетинати один одного.

У всіх цих випадках тороїдальна природа багатогранників може бути перевірена орієнтованістю і ейлеровою характеристикою, яка для цих багатогранників не позитивна.

Багатогранники Часара і СилашіРедагувати

 
Багатогранник Силаші

Два найпростіші можливі вкладені тороїдальні багатогранники — це багатогранники Часара і Силаші.

Багатогранник Часара[ru] — це тороїдальний багатогранник з сімома вершинами, 21 ребром і 14 трикутними гранями[4]. Тільки цей багатогранник і тетраедр (з відомих) володіють властивістю, що будь-який відрізок, що з'єднує вершини багатогранника є ребром багатогранника[5]. Двоїстим багатогранником є багатогранник Силаші[ru], який має 7 шестикутних граней, кожна пара яких суміжні одна з одною[6], забезпечуючи половину теореми про те, що максимальне значення кольорів для малювання карти на торі (роду 1) дорівнює семи[7].

Багатогранник Часара має найменше можливе число вершин, яке може мати вкладений тороїдальний многогранник, а багатогранник Силаші має найменше можливе число граней.

Тороїди СтюартаРедагувати

Тороїди Стюарта
     
Шість шестикутних призм Чотири квадратні куполи[ru]
8 тетраедрів
Вісім октаедрів

Спеціальна категорія тороїдальних багатогранників будується виключно за допомогою правильних багатокутних граней без їх перетину з додатковим обмеженням, що суміжні грані не лежать в одній площині. Ці багатогранники називаються тороїдами Стюарта[8] за іменем професора Бонні Стюарта[en], який досліджував їх існування[9]. Вони аналогічні тілам Джонсона у випадку опуклих багатогранників, але, на відміну від них, існує нескінченно багато тороїдів Стюарта[10]. Ці багатогранники включають також тороїдальні дельтаедри, багатогранники, грані яких є рівносторонніми трикутниками.

Обмежений клас тороїдів Стюарта, також визначених Стюартом, — це квазіопуклі тороїдальні багатогранники. Це тороїди Стюарта, які включають всі ребра їхніх опуклих оболонок. У цих багатогранників кожна грань опуклої оболонки або лежить на поверхні тороїда, або є багатокутником, ребра якого лежать на поверхні тороїда[11].

Занурені багатогранникиРедагувати

 
Октагеміоктаедр[en]
 
Малий кубооктаедр[en]
 
Великий додекаедр

Багатогранник, утворений системою багатокутників, що перетинаються, у просторі — це багатогранне занурення абстрактного топологічного многовиду, утвореного його многокутниками і його системою ребер і вершин. Прикладами є октагеміоктаедр[en] (рід 1), малий кубооктаедр[en] (рід 3) і великий додекаедр (рід 4).

 
П'ятикутний стефаноїд. Цей стефаноїд має п'ятикутну діедральну симетрію і має ті ж самі вершини, що й однорідна п'ятикутна призма.

Корончастий багатогранник (або стефаноїд) — це тороїдальний багатогранник, який є благородним[en] багатогранником, оскільки є якізогональним (однакові типи вершин), так і ізоедральним (однакові грані). Корончастий багатогранник самоперетинається і є топологічно самодвоїстим[12].

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Whiteley, (1979); Stewart, (1980), стр. 15.
  2. Webber, 1997, с. 31—44.
  3. Whiteley, 1979, с. 46—58, 73.
  4. Császár, 1949, с. 140—142.
  5. Ziegler, 2008, с. 191—213.
  6. Szilassi, 1986, с. 69—80.
  7. Heawood, 1890, с. 322—339.
  8. Webb, 2000, с. 231—268.
  9. Stewart, 1980.
  10. Stewart, 1980, с. 15.
  11. Stewart, (1980), «Quasi-convexity and weak quasi-convexity», стр. 76—79.
  12. Grünbaum, 1994, с. 43—70.

ЛітератураРедагувати

  • Branko Grünbaum. Polytopes: Abstract, Convex and Computational. — Kluwer Academic Publishers, 1994. — Т. 440. — DOI:10.1007/978-94-011-0924-6_3.. См., в частности, стр. 60.
  • Robert Webb. Stella: polyhedron navigator // Symmetry: Culture and Science. — 2000. — Т. 11, вип. 1—4.
  • B. M. Stewart. Adventures Among the Toroids: A Study of Orientable Polyhedra with Regular Faces. — 2nd. — B. M. Stewart, 1980. — ISBN 978-0-686-11936-4.
  • Lajos Szilassi. Regular toroids // Structural Topology. — 1986. — Т. 13.[недоступне посилання з Грудень 2017]
  • P. J. Heawood. Map colouring theorems // Quarterly J. Math. Oxford Ser.. — 1890. — Т. 24.
  • A. Császár. A polyhedron without diagonals // Acta Sci. Math. Szeged. — 1949. — Т. 13.
  • Günter M. Ziegler. Discrete Differential Geometry / A. I. Bobenko, P. Schröder, J. M. Sullivan, G. M. Ziegler. — Springer-Verlag, 2008. — Т. 38. — ISBN 978-3-7643-8620-7. — arXiv:math.MG/0412093. — DOI:10.1007/978-3-7643-8621-4_10.
  • Walter Whiteley. Realizability of polyhedra // Structural Topology. — 1979. — Вип. 1.
  • William T. Webber. Monohedral idemvalent polyhedra that are toroids // Geometriae Dedicata[en]. — 1997. — Т. 67, вип. 1. — DOI:10.1023/A:1004997029852.

ПосиланняРедагувати