Ізоедральне тіло
Багатогранник розмірності 3 та вище називається ізоедральним або гране-транзитивним, якщо всі його грані однакові. Точніше, всі грані мають бути не просто конгруентними, а мають бути транзитивними, тобто повинні прилягати в одній і тій самій орбіті симетрії. Іншими словами, для будь-яких граней A і B має існувати симетрія всього тіла (що складається з поворотів і відображень), яка відображає A в B. З цієї причини опуклі ізоедральні багатогранники мають форми правильних гральних кісточок[1].
Ізоедральні багатогранники називають ізоедрами. Їх можна описати конфігурацією їхніх граней. Ізоедральне тіло, що має правильні вершини, є також реберно-транзитивним тілом (ізотоксальним) і кажуть, що воно є квазіправильним двоїстим — деякі теоретики[хто?] вважають ці тіла істинно квазіправильними, оскільки вони зберігають ті самі симетрії.
Ізоедральний багатогранник має двоїстий багатогранник, який є вершинно-транзитивним (ізогональним). Тіла Каталана, біпіраміди і трапецоедри всі ізоедральні. Вони дуальні ізогональним архімедовим тілам, призмам і антипризмам відповідно. Правильні багатогранники, які або самодвоїсті, або двоїсті іншим платоновим тілам (правильним багатогранникам), вершинно-, реберно- і гране-транзитивні (ізогональні, ізотоксальні й ізоедральні). Ізоедральний і ізогональний одночасно багатогранник називають благородним багатогранником[en].
Приклади ред.
 Шестикутна біпіраміда[en] V4.4.6 є прикладом неправильного ізоедрального багатогранника. |
 Ізоедральна каїрська п'ятикутна мозаїка, V3.3.4.3.4 |
 Ромбододекаедральний стільник[en] є прикладом ізоедрального (й ізохорного) стільника, що заповнює простір. |
k-ізоедральне тіло ред.
Багатогранник є k-ізоедральним, якщо він містить k граней у своїй фундаментальній області симетрії[2].
Аналогічно, k-ізоедральна мозаїка має k окремих орбіт симетрії (і може містити m граней різної форми для деякого m < k)[3].
Моноедральный (має грані одного виду) багатогранник або моноедральна мозаїка (m=1) мають конгруентні грані. r-едральный багатогранник або мозаїка має r типів граней (їх також називають діедральними, триедральними і так далі для m=2, 3, …)[4].
Кілька прикладів k-ізоедральних багатогранників і мозаїк з розфарбуванням граней в k симетричних позиціях:
| 3-ізоедральний | 4-ізоедральний | ізоедральний | 2-ізоедральний |
|---|---|---|---|
| (2-едральні) багатогранники з правильними гранями | Моноедральні багатогранники | ||
|
|
|
|
| Ромбокубооктаедр має один тип трикутників і два типи квадратів | Подовжений квадратний гіробікупол має один тип трикутників і три типи квадратів. | Дельтоїдальний ікосітетраедр має один тип граней. | Псевдодельтаедральний ікосаедр[en] має 3 типи граней. |
| 2-ізоедральна | 4-ізоедральна | ізоедральна | 3-ізоедральна |
|---|---|---|---|
| (2-едральні) мозаїки з правильними гранями | Моноедральні мозаїки | ||
|
|
|
 |
| Піфагорова мозаїка має квадрати 2 розмірів. | 3-однорідна мозаїка має 3 типи однакових трикутників і квадрати одного виду. | Візерунок «Ялинка» має правильні грані одного типу. | П'ятикутна мозаїка має 3 типи ідентичних неправильних п'ятикутних граней. |
Пов'язані поняття ред.
Комірко-транзитивне або ізохорне тіло є n-вимірним багатогранником (n>3) або стільником, які мають конгруентні і транзитивні, тобто такі, що переходять одна в іншу за допомогою симетрії,комірки.
Гране-транзитивне або ізотопне тіло (ізотоп) є n-вимірною фігурою або стільником з конгруентними і транзитивними фасетами ((n-1)-гранями). Двоїстий багатогранник ізотопа є ізогональним багатогранником. За визначенням, ця ізотопна властивість є спільною для двоїстих тіл однорідних багатогранників.
- Ізотопна 2-вимірна фігура є ізотоксальною (реберно-транзитивною).
- Ізотопне 3-вимірне тіло є ізоедральним (гране-транзитивним).
- Ізотопне 4-вимірне тіло є ізохорним (комірко-транзитивним).
Див. також ред.
Примітки ред.
- ↑ McLean, 1990, с. 243–256.
- ↑ Socolar, 2007, с. 33–38.
- ↑ Kaplan, 2009, с. 35.
- ↑ Grünbaum, Shephard, 1987, с. 20, 23.
Література ред.
- Peter R. Cromwell. Polyhedra. — Cambridge University Press, 1997. — С. 367 Transitivity. — ISBN 0-521-55432-2.
- Joshua E. S. Socolar. Hexagonal Parquet Tilings: k-Isohedral Monotiles with Arbitrarily Large k // The Mathematical Intelligencer. — 2007. — Т. 29 (3 квітня). — С. 33–38. — DOI:. Архівовано з джерела 3 березня 2016. Процитовано 2007-09-09.
- Craig S. Kaplan. Chapter 5 «Isohedral Tilings» // [1] — 2009. Архівовано з джерела 12 лютого 2022
- B. Grünbaum, G.C. Shephard. Tilings and Patterns. — New York : W. H. Freeman & Co, 1987. — ISBN 0-7167-1193-1.
- K. Robin McLean. Dungeons, dragons, and dice // The Mathematical Gazette. — 1990. — Т. 74, вип. 469 (3 квітня).
Посилання ред.
- Olshevsky, George. «Isotope». Glossary for Hyperspace. Archived from the original on 4 February 2007.
- Weisstein, Eric W. Isohedral tiling(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Isohedron(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.