Ромбозрізаний ікосододекаедр

Ромбозрізаний ікосододекаедр або зрізаний ікосододекаедр — напівправильний многогранник (архімедове тіло) з 62 гранями, складений із 30 квадратів, 20 правильних шестикутників і 12 правильних десятикутників.

Ромбозрізаний ікосододекаедр
Тип	архімедове тіло
Граней	62: 30 квадратів 20 шестикутників 12 десятикутників
Ребер	180
Вершин	120
Конфігурація вершин	4.6.10
Символ Витофа	2 3 5 |
Символ Шлефлі	tr{5,3}
Діаграма Коксетера
Група симетрії	Ih (ікосаедрична)
Площа поверхні	$S=30\left(1+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}$
Об'єм	$V=(95+50{\sqrt {5}})a^{3}$
Двогранний кут (градуси)	6-10: 142,62° 4-10: 148,28° 4-6: 159,095°
Дуальний многогранник	гекзакісікосаедр
Вершинна діаграма
Розгортка

У кожній з його 120 однакових вершин сходяться одна квадратна грань, одна шестикутна та одна десятикутна. Тілесний кут при вершині дорівнює рівно ${\frac {3}{2}}\pi .$

Має 180 ребер рівної довжини. При 60 ребрах (між квадратною та шестикутною гранями) двогранні кути рівні $\arccos \left(-{\frac {{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}}{6}}\right)\approx 159{,}09^{\circ },$ при 60 ребрах (між квадратною та десятикутною гранями) $\arccos \left(-{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}\right)\approx 148{,}28^{\circ },$ при 60 ребрах (між шестикутною та десятикутною гранями) $\arccos \left(-{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{15}}}\right)\approx 142{,}62^{\circ }.$

Споріднений многогранник, що не є напівправильним.

Назва «зрізаний ікосододекаедр», яку спочатку дав цьому многограннику Кеплер, здатна ввести в оману. Справа в тому, що в результаті операції зрізання, «зрізавши» з ікосододекаедра 30 чотирикутних пірамід, можна отримати лише дещо інший многогранник, чотирикутні грані якого — золоті прямокутники, а не квадрати. Отриманий многогранник напівправильним не є; втім, він ізоморфний справжньому ромбозрізаному ікосододекаедру і його можна перетворити на такий за допомогою невеликої деформації.

У координатах

Ромбозрізаний ікосододекаедр можна розташувати в декартовій системі координат так, щоб координати його вершин були всілякими циклічними перестановками наборів чисел

• $(\pm (\Phi -1);\;\pm (\Phi -1);\;\pm (\Phi +3)),$
• $(\pm (2\Phi -2);\;\pm \Phi ;\;\pm (2\Phi +1)),$
• $(\pm (\Phi -1);\;\pm (\Phi +1);\;\pm (3\Phi -1)),$
• $(\pm (2\Phi -1);\;\pm 2;\;\pm (\Phi +2)),$
• $(\pm \Phi ;\;\pm 3;\;\pm 2\Phi ),$

де $\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ — відношення золотого перетину.

Початок координат $(0;0;0)$ буде при цьому центром симетрії многогранника, а також центром його описаної та напіввписаної сфер.

Метричні характеристики

Якщо ромбозрізаний ікосододекаедр має ребро довжини $a$, його площа поверхні та об'єм виражаються як

$S=30\left(1+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 174{,}2920303a^{2},$

$V=(95+50{\sqrt {5}})a^{3}\approx 206{,}8033989a^{3}.$

Радіус описаної сфери (що проходить через усі вершини многогранника) при цьому дорівнюватиме

$R={\frac {1}{2}}{\sqrt {31+12{\sqrt {5}}}}\;a\approx 3{,}8023945a;$

радіус напіввписаної сфери (що дотикається до всіх ребер у їх серединах) —

$\rho ={\sqrt {{\frac {15}{2}}+3{\sqrt {5}}}}\;a\approx 3{,}7693771a.$

Вписати в ромбозрізаний ікосододекаедр сферу так, щоб вона дотикалася до всіх граней, неможливо. Радіус найбільшої сфери, яку можна помістити всередині ромбозрізаного ікосододекаедра з ребом $a$ (вона дотикатиметься лише до всіх десятикутних граней у їхніх центрах), дорівнює

$r_{10}={\frac {1}{2}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\;a\approx 3{,}4409548a.$

Відстані від центра многогранника до шестикутних і квадратних граней перевищують $r_{10}$ і рівні відповідно

$r_{6}={\frac {1}{2}}{\sqrt {27+12{\sqrt {5}}}}\;a\approx 3{,}6685425a,$

$r_{4}={\frac {1}{2}}{\sqrt {29+12{\sqrt {5}}}}\;a\approx 3{,}7360680a.$

Визначні властивості

Серед усіх платонових тіл, архімедових тіл і тіл Джонсона із заданою довжиною ребра ромбозрізаний ікосододекаедр має найбільший об'єм, найбільшу площу поверхні та найбільший діаметр.

Серед усіх платонових тіл, архімедових тіл і тіл Джонсона ромбозрізаний ікосододекаедр має найбільшу кількість вершин і найбільшу кількість ребер (але не найбільшу кількість граней — тут перше місце займає кирпатий додекаедр).

Пов'язані многогранники

Сімейство однорідних ікосаедричних багатогранників

Симетрія: [5,3], (*532)							[5,3]+, (532)
{5,3}	t{5,3}	r{5,3}	t{3,5}	{3,5}	rr{5,3}	tr{5,3}	sr{5,3}
Двоїсті до однорідних багатогранників
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Посилання

• Weisstein, Eric W. Ромбозрізаний ікосододекаедр(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Література

• М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
• Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. — М. : Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — С. 382—447.
• Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М. : Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.