Геометрія Лобачевського

Геометрія Лобачевського (гіперболічна геометрія) — одна з неевклідових геометрій, геометрична теорія, що базується на тих же основних міркуваннях, що і звичайна евклідова геометрія, за винятком аксіоми про паралельність, що замінюється на аксіому про паралельні Лобачевського.

Титульний аркуш книги Лобачевського

Евклідова аксіома про паралельні твердить:

через точку, що не лежить на даній прямій, проходить тільки одна пряма, що лежить з даною прямою в одній площині і не перетинає її.

В геометрії Лобачевського замість неї приймається наступна аксіома:

через точку, що не лежить на даній прямій, проходять щонайменше дві прямі, що лежать з даною прямою в одній площині і не перетинають її.

Геометрія Лобачевського має широке застосування як в математиці, так і у фізиці. Історичне її значення полягає у тому, що її побудовою Лобачевський показав можливість існування геометрії, відмінної від евклідової. Це ознаменувало нову епоху в розвитку геометрії і математики загалом.

ІсторіяРедагувати

Джерелом геометрії Лобачевського слугувало питання аксіоми про паралельні прямі, котра відома також як п'ятий постулат Евкліда (під цим номером у списку постулатів із «Начал» Евкліда знаходиться твердження, еквівалентне до наведеної аксіоми про паралельні прямі). Цей постулат, складніший порівняно з іншими, довгий час викликав спроби довести його на основі інших постулатів.

Ось неповний список учених, що займались доведенням V постулату до XIX ст.:

Доведення вказаних вчених зводились до заміни V постулату іншими припущеннями, що здавались очевиднішими.

Моделі геометрії ЛобачевськогоРедагувати

Моделлю геометрії Лобачевського називається поверхня або простір, в якому виконуються аксіоми геометрії Лобачевського.

Оскільки всі реалізації геометрії Лобачевського ізоморфні[1], твердження, доведене в одній моделі геометрії Лобачевського, буде дійсне в будь-якій іншій моделі. Тим самим для проведення міркувань можна щоразу вибирати найбільш «зручну» модель. Наприклад, в конформних моделях Пуанкаре, кут між кривими дорівнює евклідовому куту.

Модель КляйнаРедагувати

Докладніше: Проєктивна модель
 
Прямі в моделі Кляйна. Через точку P проходить нескінченно багато прямих, які не перетинають пряму a.

Точками моделі Кляйна є внутрішні точки круга одиничного радіусу з центром у початку координат. Відстань між точками   і   визначається за допомогою подвійного відношення, а саме як

 

для інтервалу  , де   і   — точки перетину прямої   з граничним колом круга.

Зазначимо, що точки граничного кола будуть нескінченно віддаленими точками площини Лобачевського. Граничне коло називають абсолютом або ідеальною межею.

У моделі Кляйна прямими є хорди кола[2]. Тому в цій моделі зручно розглядати питання пов'язані з опуклими множинами геометрії Лобачевського.

Перша фундаментальна форма площини Лобачевського в моделі Кляйна має вигляд[3]

 

Аналогічним чином влаштована модель багатовимірного простору Лобачевського. Точками простору будуть внутрішні точки кулі одиничного радіусу та точно так само, як і на площині задається відстань подвійним відношенням.

Модель Пуанкаре в куліРедагувати

 
Через точку площини проходять прямі, паралельні заданій прямій

Точками в моделі Пуанкаре в кулі   будуть внутрішні точки кулі, а множиною нескінченно віддалених точок (абсолютом) буде гранична сфера. Прямими в цій моделі будуть дуги кіл та відрізки, ортогональні абсолюту. Метричними сферами в цієї моделі будуть евклідові сфери, які лежать в кулі   (зауважимо, що взагалі центри сфер зміщені відносно центрів евклідових сфер).

Це конформна модель геометрії Лобачевського, тобто кут між кривими в цій моделі збігається з евклідовим кутом.

Перша фундаментальна форма простору Лобачевського в моделі Пуанкаре в кулі має вигляд[3]

 

Модель Пуанкаре у півпросторіРедагувати

Точками в моделі Пуанкаре у верхній півплощині   будуть внутрішні точки півпростору  , а множиною нескінченно віддалених точок (абсолютом) буде гіперплощина  . Прямими в цій моделі будуть дуги кіл і промені ортогональні абсолюту. Метричними сферами в цій моделі будуть звичайні евклідові сфери.

Перша фундаментальна форма простору Лобачевського в моделі Пуанкаре у верхній півплощині має вигляд[4]

 

Як і модель Пуанкаре в кулі, це також конформна модель геометрії Лобачевського. Існує конформне перетворення, яке перетворює одну модель в іншу.

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Погорелов А. В., с. 84
  2. Прасолов В. В., Тихомиров В. М., с. 184
  3. а б Ефимов Н. В., с. 525
  4. Бердон А., с. 118

ЛітератураРедагувати

  • Лаптев Борис Лукич. Геометрия Лобачевского, её история и значение. — Москва : «Знание», 1976. — Т. 9. — 64 с. — (Новое в жизни, науке, технике. Серия «Математика, кибернетика») — 45 250 прим. (рос.)

ДжерелаРедагувати

  • Бердон А. Геометрія дискретних груп = Геометрия дискретных групп: Пер. з англ.. — Москва : Наука, 1986. — 304 с.
  • Ефимов Н.В. Вища геометрія = Высшая геометрия. — Москва : Наука, 1978. — 576 с.
  • Погорелов А.В. Лекції з основ геометрії = Лекции по основаниям геометрии. — Харків : ХДУ, 1964. — 138 с.
  • Прасолов В.В., Тихомиров В.М. Геометрія = Геометрия. — Москва : МЦНМО, 1997. — 352 с. (Книга в *.pdf та *.ps форматі.)

ПосиланняРедагувати