З'єднання многогранників

З'єднання многогранників — геометричне тіло, складене з деяких многогранників, що мають спільний центр. З'єднання є тривимірним аналогом багатокутних з'єднань, таких як гексаграма.

Зовнішні вершини з'єднання можна з'єднати, утворивши опуклий многогранник, який називають опуклою оболонкою. З'єднання є огрануванням опуклої оболонки.

Усередині з'єднання утворюється менший опуклий многогогранник, спільна частина всіх членів з'єднання. Його називають ядром набору зірчастих многогранників .

Правильні з'єднання

Правильне з'єднання многогранників можна визначити як з'єднання, яке, як і в разі правильних многогранників, є вершинно-транзитивним, реберно-транзитивним та гране-транзитивним. Існує п'ять правильних з'єднань многогранників.

З'єднання	Малюнок	Сферичне подання	Опукла оболонка	Ядро	Симетрія	Підгрупа для одного складника	Двоїстий
Два тетраедри (зірчастий октаедр)			Куб	Октаедр	*432 [4,3] O h	*332 [3,3] T d	Самодвоїстий
П'ять тетраедрів			Додекаедр	Ікосаедр	532 [5,3] + I	332 [3,3] + T	Енантіоморфнийхіральний двійник
Десять тетраедрів			Додекаедр	Ікосаедр	*532 [5,3] I h	332 [3,3] T	Самодвоїстий
П'ять кубів			Додекаедр	Ромботриаконтаедр	*532 [5,3] I h	3*2 [3,3] T h	П'ять октаедрів
П'ять октаедрів			Ікосододекаедр	Ікосаедр	*532 [5,3] I h	3*2 [3,3] T h	П'ять кубів

Найвідомішим є з'єднання двох тетраедрів. Кеплер назвав це з'єднання латиною stella octangula (зірчастий октаедр). Вершини двох тетраедрів задають куб, а їх перетин є октаедром, грані якого лежать на тих самих площинах, що й грані складових тетраедрів. Таким чином, з'єднання є зведенням до зірчастої форми октаедра і фактично його єдиним можливим зведенням.

Зірчастий октаедр можна також розглядати як двоїсто-правильне з'єднання.

З'єднання п'яти тетраедрів має дві дзеркальні версії, які разом дають з'єднання десяти тетраедрів. Всі з'єднання тетраедрів самодвоїсті, а з'єднання п'яти кубів двоїсте з'єднанню п'яти октаедрів.

Двоїсті з'єднання

Двоїсте з'єднання — це з'єднання многогранника і двоїстого йому, розташованих взаємно протилежно відносно спільної вписаної або напіввписаної сфери, так що ребро одного многогранника перетинає двоїсте ребро двоїстого многогранника. Існує п'ять таких з'єднань правильних многогранників.

Компоненти	Малюнок	Опукла оболонка	Ядро	Симетрія
Два тетраедри (зірчастий октаедр)		Куб	Октаедр	*432 [4,3] Oh
Куб і октаедр		Ромбододекаедр	Кубооктаедр	*432 [4,3] Oh
додекаедр та ікосаедр		Ромботріаконтаедр	Ікосододекаедр	*532 [5,3] Ih
великий ікосаедр і великий зірчастий додекаедр		Додекаедр	Ікосододекаедр	*532 [5,3] Ih
малий зірчастий додекаедр і великий додекаедр		Ікосаедр	Додекаедр	*532 [5,3] Ih

Тетраедр самодвоїстий, отже, двоїсте з'єднання тетраедра з двоїстим йому є також зірчастим октаедром.

Двоїсті з'єднання куб-октаедр та додекаедр-ікосаедр є ззірченнями кубооктаедра та ікосододекаедра відповідно.

З'єднання малого зірчастого додекаедра і великого додекаедра виглядає зовні як той самий малий зірчастий додекаедр, оскільки великий додекаедр міститься повністю всередині нього. Тому зображення малого зірчастого додекаедра, наведене вище, показано у вигляді реберного каркаса.

Однорідні з'єднання

1976 року Джон Скіллінг (John Skilling) опублікував статтю Однорідні з'єднання однорідних многогранників, у якій перерахував 75 з'єднань (серед них 6 нескінченних множин призматичних з'єднань, № 20-25), отриманих з однорідних многогранників за допомогою обертань. (Кожна вершина є вершинно-транзитивною.) Список включає п'ять з'єднань правильних многогранників зі списку вище[1].

Ці 75 однорідних з'єднань наведено в таблиці нижче. У більшості з'єднань різні кольори відповідають різним складникам. Деякі хіральні пари розфарбовано згідно з дзеркальною симетрією.

• 1-19: суміш (4,5,6,9,17 є п'ятьма правильними з'єднаннями)

• 20-25: симетрія призм, вкладена в діедричну симетрію в тривимірному просторі,

• 26-45: симетрія призм, укладена в октаедричну або ікосаедричну симетрію,

• 46-67: тетраедрична симетрія, вкладена в октаедричну або ікосаедричну симетрію,

• 68-75: енантіоморфні пари

Інші з'єднання

З'єднання чотирьох кубів (ліворуч) не є ні правильним, ні двоїстим, ні однорідним з'єднанням. Двоїсте йому з'єднання чотирьох октаедрів (праворуч) однорідне.

• З'єднання трьох октаедрів
• З'єднання чотирьох кубів

Два многогранники, які є з'єднаннями, але їх елементи строго вкладені в малий складний ікосододекаедр (з'єднання ікосаедра та великого додекаедра) і великий складний ікосододекаедр (з'єднання малого зірчастого додекаедра і великого ікосаедра). Якщо прийняти узагальнене визначення однорідного багатогранника, вони будуть однорідними.

Розділ ентіаноморфних пар у списку Скіллінга не містить з'єднань двох великих кирпатих додекоікосододекаедрів, оскільки грані- пентаграми збігаються. Видалення граней, що збігаються, приведе до з'єднання двадцяти октаедрів.

Чотиривимірні з'єднання

Ортогональні проекції

75 {4,3,3}	75 {3,3,4}

У чотиривимірному просторі існує багато правильних з'єднань правильних політопів. Коксетер перерахував деякі з них у своїй книзі Правильні многогранники.

Самодвоїсті:

З'єднання	Симетрія
120 п'ятикомірників	[5,3,3], порядок 14400
5 двадцятичотирьохкомірників	[5,3,3], порядок 14400

Двоїсті пари:

З'єднання 1	З'єднання 2	Симетрія
3 шістнадцятикомірники	3 тесеракти	[3,4,3], порядок 1152
15 шістнадцятикомірників	15 тесерактів	[5,3,3], порядок 14400
75 шістнадцятикомірників	75 тесерактів	[5,3,3], порядок 14400
300 шістнадцятикомірників	300 тесерактів	[5,3,3] +, порядок 7200
600 шістнадцятикомірників	600 тесерактів	[5,3,3], порядок 14400
25 двадцятичотирьохкомірників	25 двадцятичотирьохкомірників	[5,3,3], порядок 14400

Однорідні з'єднання з опуклими чотиривимірними многогранниками:

З'єднання 1 вершинно-транзитивне	З'єднання 2 комірково-транзитивне	Симетрія
2 шістнадцятикомірники	2 тесеракти	[4,3,3], порядок 384
100 двадцятичотирьохкомірників	100 двадцятичотирьохкомірників	[5,3,3] +, порядок 7200
200 двадцятичотирьохкомірників	200 двадцятичотирьохкомірників	[5,3,3], порядок 14400
5 шестисоткомірників	5 стодвадцятикомірників	[5,3,3] +, порядок 7200
10 шестисоткомірників	10 стодвадцятикомірників	[5,3,3], порядок 14400

Двоїсті позиції:

З'єднання	Симетрія
2 п'ятикомірники {{3,3,3}}	[[3,3,3]], порядок 240
2 двадцятичотирьохкомірників {{3,4,3}}	[[3,4,3]], порядок 2304

З'єднання правильних чотиривимірних многогранників

Самодвоїсті зірчасті з'єднання:

З'єднання	Симетрія
5 {5,5/2,5}	[5,3,3]+, порядок 7200
10 {5,5/2,5}	[5,3,3], порядок 14400
5 {5/2,5,5/2}	[5,3,3]+, порядок 7200
10 {5/2,5,5/2}	[5,3,3], порядок 14400

Двоїсті пари з'єднань зірок:

З'єднання 1	З'єднання 2	Симетрія
5 {3,5,5/2}	5 {5/2,5,3}	[5,3,3]+, порядок 7200
10 {3,5,5/2}	10 {5/2,5,3}	[5,3,3], порядок 14400
5 {5,5/2,3}	5 {3,5/2,5}	[5,3,3]+, порядок 7200
10 {5,5/2,3}	10 {3,5/2,5}	[5,3,3], порядок 14400
5 {5/2,3,5}	5 {5,3,5/2}	[5,3,3]+, порядок 7200
10 {5/2,3,5}	10 {5,3,5/2}	[5,3,3], порядок 14400

Однорідні з'єднання зірок :

З'єднання 1 вершинно-транзитивне	З'єднання 2 комірково-транзитивне	Симетрія
5 {3,3,5/2}	5 {5/2,3,3}	[5,3,3]+, порядок 7200
10 {3,3,5/2}	10 {5/2,3,3}	[5,3,3], порядок 14400

Теорія груп

У термінах теорії груп, якщо G — група симетрії з'єднання многогранників і група діє транзитивно на многогранник (так що будь-який многогранник може перейти в будь-якій іншій, як в однорідних з'єднаннях), тоді, якщо H є стабілізатором одного вибраного многогранника, многогранники можна визначити за орбітою G/H.

З'єднання мозаїк

Існує вісімнадцять двопараметричних сімейств правильних з'єднань мозаїк на евклідовій площині. У гіперболічному просторі відомі п'ять однопараметричних сімейств та сімнадцять ізольованих мозаїк, але список не завершено.

Евклідові та гіперболічні сімейства 2 {p,p} (4 ≤ p ≤ ∞, p ціле) аналогічні сферичним зірчастим октаедрам, 2 {3,3}.

Деякі приклади евклідових і гіперболічних правильних з'єднань

Самодвоїсті	Двоїсті		Самодвоїсті
2 {4,4}	2 {6,3}	2 {3,6}	2 {∞,∞}
	3 {6,3}	3 {3,6}	3 {∞,∞}

Відомим сімейством правильних евклідових з'єднань стільників у просторах розмірності п'ять і вище є нескінченне сімейство гіперкубічних стільників, що мають спільні вершини та грані. Таке з'єднання може мати довільне число гіперкубічних стільників.

Існують також двоїсто-правильні з'єднання мозаїк. Простим прикладом є E²-з'єднання шестикутної мозаїки та її двоїстої трикутної. Евклідове з'єднання двох гіперкубічних стільників правильне і двоїсто правильне.

Література

• John Skilling. Uniform Compounds of Uniform Polyhedra // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1976. — Т. 79 (24 квітня). — DOI:10.1017/S0305004100052440..
• P. Cromwell. Polyhedra. — United Kingdom : Cambridge, 1997. — С. 79–86 Archimedean solids. — ISBN 0-521-55432-2.
• Magnus Wenninger. Dual Models. — Cambridge : Cambridge University Press, 1983. — P. 51–53..
• Michael G. Harman. Polyhedral Compounds. — unpublished manuscript, 1974..
• Edmund Hess. Zugleich Gleicheckigen und Gleichflächigen Polyeder. — Schriften der Gesellschaft zur Berörderung der Gasammten Naturwissenschaften zu Marburg. — 1876. — Т. 11. — С. 5–97.
• H.S.M Coxeter. Chapter 8: Truncation // Regular Polytopes. — 3rd edition. — New York : Dover Publications Inc, 1973. — ISBN 0-486-61480-8.

• Anthony Pugh. Polyhedra: A visual approach. — California : University of California Press Berkeley, 1976. — ISBN 0-520-03056-7. стор. 87 Five regular compounds

Посилання

• MathWorld: Polyhedron Compound
• Compound polyhedra — від Virtual Reality Polyhedra
  • Uniform Compounds of Uniform Polyhedra
• Skilling's 75 Uniform Compounds of Uniform Polyhedra
• Skilling's Uniform Compounds of Uniform Polyhedra
• Polyhedral Compounds
• http://users.skynet.be/polyhedra.fleurent/Compounds_2/Compounds_2.htm
• Compound of Small Stellated Dodecahedron and Great Dodecahedron {5/2,5}+{5,5/2}