Відкрити головне меню

Ді́я групи на множині — це відображення

що має властивості:

для всіх де — це нейтральний елемент

З аксіом групи випливає, що для кожного відображення множини до себе за формулою є бієкцією або автоморфізмом

Типи дійРедагувати

  • Вільна, якщо для будь-яких   не рівних між собою і довільного   виконується  .
  • Транзитивна якщо для будь-яких   існує   такий, що  , тобто якщо   для довільного  .
  • Ефективна, якщо для довільних   існує   такий, що  .

Орбіти елементівРедагувати

Підмножина

 

називається орбітою елемента  .

Дія групи   на множині   визначає на ній відношення еквівалентності

 

СтабілізаторРедагувати

Підмножина

 

є підгрупою групи   і називається стабілізатором елемента  .

Стабілізатори елементів однієї орбіт спряжені, тобто якщо  , то існує такий елемент  , що

 

Кількість елементів в орбітіРедагувати

Загальна кількість елементів в орбіті елемента   визначається за формулою:

 , де   — стабілізатор елемента   і  індекс підгрупи  , що для скінченних груп рівний  .

Справді нехай елемент n належить до орбіти елемента m, припустимо n = gm для деякого   Визначимо тепер відображення f(n)=nH, де H=Gm  - стабілізатор елемента m. Дане означення відображеняя з множини елементів орбіти m на множину лівих класів суміжності по H ' є несуперечливим, адже якщо y=g1x=g2x то   і як наслідок g1H=g2H. Зважаючи на довільність вибору g, одержуємо, що відображення є сюр'єктивним. З іншого боку якщо g1H=g2H тоді   і згідно з означенням стабілізатора   звідки випливає g1x=g2x. Тобто відображення є ін'єктивним і значить бієктивним. Тобто потужність орбіти рівна потужності лівих класів суміжності по H, тобто за означенням рівна індексу підгрупи H, що доводить твердження

Якщо  , то

 формула розбиття на орбіти.

Звідси випливають наступні тотожності:

  1.  
  2.  
  3. Лема Бернсайда

Варіації та узагальненняРедагувати

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати