Псевдогрупа перетворень

Псевдогрупа перетворень гладкого многовида $M$ — сімейство дифеоморфізмів відкритих підмножин многовида $M$ у $M$, замкнуте відносно композиції відображень, переходу до оберненого відображення, а також звуження та склейки відображень.

Точне означення

Псевдогрупа перетворень $\Gamma$ многовида $M$ складається з локальних перетворень, тобто пар виду $p=(D_{p},{\bar {p}})$, де $D_{p}$ — відкрита підмножина в $M$, а ${\bar {p}}$ — дифеоморфізм $D_{p}\to M$, причому передбачається, що

1. $p,q\in \Gamma \Rightarrow p\circ q=({\bar {q}}^{-1}(D_{p}\cap {\bar {q}}(D_{q})),{\bar {p}}\circ {\bar {q}})\in \Gamma$
2. $p\in \Gamma \Rightarrow p^{-1}=({\bar {p}}(D_{p}),{\bar {p}}^{-1})\in \Gamma$
3. $(M,id)\in \Gamma$,
4. якщо $p$ — дифеоморфізм відкритої підмножини $D$ у $M$ і $D=\cup _{\alpha }D_{\alpha }$, де $D_{\alpha }$ — відкриті підмножини в $M$, то $(D,p)\in \Gamma \Longleftrightarrow (D_{\alpha },p)\in \Gamma$ для будь-якого $\alpha$.

Приклади

• Довільна гладка дія групи на многовиді.
• Нехай $M$ гладкий многовид і на якому гладко діє група $G$ тоді «звуження» дії на довільну відкриту множину $\Omega$ є псевдогрупою перетворень. Точніше $p=(D_{p},{\bar {p}})$ міститься в псевдогрупі якщо ${\bar {p}}\in G$ і $D_{p},{\bar {p}}(D_{p})\subset \Omega$.

Зв'язані означення

Так само, як група перетворень, псевдогрупа перетворень визначає на $M$ відношення еквівалентності; класи еквівалентності називаються її орбітами.

Типи псевдогруп

Псевдогрупа перетворень $\Gamma$ многовида $M$ називається

• транзитивною, якщо $M$ — її єдина орбіта,
• примітивною, якщо у $M$ немає нетривіальних гладких $\Gamma$-інваріантних шарувань (в іншому випадку псевдогрупа перетворень називається імпримітивною).

Варіації та узагальнення

Видозмінюючи належним чином це означення, можна означити псевдогруппу перетворень довільного топологічного простору або навіть довільної множини.

Література

• Виноградов И. М. (ред.) — Математическая энциклопедия. Том 4. — М.: Сов. энциклопедия, 1977 — с. 730–732.