П'ятикомірник

П'ятикомірник
Діаграма Шлегеля: проєкція (перспектива) п'ятикомірника в тривимірний простір
Тип	Правильний чотиривимірний політоп
Символ Шлефлі	{3,3,3}
Комірок	5
Граней	10
Ребер	10
Вершин	5
Вершинна фігура	Правильний тетраедр
Двоїстий політоп	Він же (самодвоїстий)

П'ятикомірник, або пентахор (від дав.-гр. πέντε — «п'ять» і χώρος — «місце, простір»), — один з правильних багатокомірників у чотиривимірному просторі: правильний чотиривимірний симплекс.

Проєкція п'ятикомірника в тривимірний простір

Стереографічна проєкція п'ятикомірника

Відкритий Людвігом Шлефлі в середині 1850-х років. Символ Шлефлі п'ятикомірника — {3,3,3}.

Є двоїстим сам собі. На відміну від п'яти інших правильних багатокомірників, не має центральної симетрії.

Використовується у фізико-хімічному аналізі для вивчення властивостей багатокомпонентних систем.

Опис

Обмежений 5 тривимірними комірками — однаковими правильними тетраедрами. Будь-які дві комірки — суміжні; кут між ними дорівнює $\arccos \,{\frac {1}{4}}\approx 75{,}52^{\circ }.$

Його 10 двовимірних граней — однакові правильні трикутники. Кожна грань розділяє 2 прилеглі до неї комірки.

Має 10 ребер рівної довжини. На кожному ребрі сходяться по 3 грані й по 3 комірки.

Має 5 вершин. У кожній вершині сходяться по 4 ребра, по 6 граней і по 4 комірки. Будь-які 2 вершини з'єднані ребром; будь-які 3 вершини належать одній грані; будь-які 4 вершини належать одній комірці.

П'ятикомірник можна розглядати як правильну чотиривимірну піраміду з тетраедричною основою.

У координатах

Перший спосіб розташування

П'ятикомірник можна розмістити в декартовій системі координат так, щоб його вершини мали координати $(1;1;1;0),$ $(1;-1;-1;0),$ $(-1;1;-1;0),$ $(-1;-1;1;0),$ $(0;0;0;{\sqrt {5}}).$

При цьому точка $\left(0;0;0;{\frac {\sqrt {5}}{5}}\right)$ буде центром вписаної, описаної і піввписаної тривимірних гіперсфер.

Другий спосіб розташування

У п'ятивимірному просторі можливо розмістити п'ятикомірник так, щоб усі його вершини мали цілі координати: $(1;0;0;0;0),$ $(0;1;0;0;0),$ $(0;0;1;0;0),$ $(0;0;0;1;0),$ $(0;0;0;0;1).$

Центром вписаної, описаної і напіввписаної гіперсфер при цьому буде точка $\left({\frac {1}{5}};{\frac {1}{5}};{\frac {1}{5}};{\frac {1}{5}};{\frac {1}{5}}\right).$.

Ортогональні проєкції на площину

Метричні характеристики

Якщо п'ятикомірник має ребро довжини $a,$ то його чотиривимірний гіпероб'єм і тривимірна гіперплоща поверхні виражаються відповідно як

$V_{4}={\frac {\sqrt {5}}{96}}\;a^{4}\ \approx 0{,}0232924a^{4},$

$S_{3}={\frac {5{\sqrt {2}}}{12}}\;a^{3}\approx 0{,}5892557a^{3}.$

Радіус описаної тривимірної гіперсфери (що проходить через усі вершини багатокомірника) при цьому буде дорівнює

$R={\frac {\sqrt {10}}{5}}\;a\approx 0{,}6324555a,$

радіус зовнішньої напіввписаної гіперсфери (дотикається до всіх ребер у їхніх серединах) —

$\rho _{1}={\frac {\sqrt {15}}{10}}\;a\approx 0{,}3872983a,$

радіус внутрішньої напіввписаної гіперсфери (дотикається до всіх граней у їхніх центрах) —

$\rho _{2}={\frac {\sqrt {15}}{15}}\;a\approx 0{,}2581989a,$

радіус вписаної гіперсфери (дотикається до всіх комірок у їхніх центрах) —

$r={\frac {\sqrt {10}}{20}}\;a\approx 0{,}1581139a.$

Неправильні п'ятикомірники

Іноді словом «п'ятикомірник» може позначатися не тільки правильний, але й довільний чотиривимірний симплекс.

Посилання

• Weisstein, Eric W. П'ятикомірник(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.