E₈ (математика)

В математиці, $E_{8}$ — найбільша особлива проста група Лі. $E_{8}$ була відкрита Вільгельмом Кіллінгом в 1888—1890 роках, а сучасне її позначення прийшло з класифікації простих алгебр Лі, яку уведи Елі Картан і Вільгельм Кіллінг. Класифікація виділяє чотири нескінченних сімейства простих алгебр Лі, які позначаються $A_{n}$, $B_{n}$, $C_{n}$, $D_{n}$, і п'ять особливих випадків, які позначаються E₆, E₇, E₈, F₄ і G₂.

Граф поліедра $\scriptstyle {E_{8}}$

Опис

$E_{8}$ має ранг 8 і розмірність 248 (як многовид). Вектори системи коренів визначені у восьми вимірах.

Схема Динкіна

Схема Динкіна для E₈ має вид

Ця схема коротко описує будову системи коренів. Кожен вузол схеми являє собою простий корінь. Лінія, що з'єднує два простих кореня, означає, що вони знаходяться під кутом 120° один до одного. Два простих кореня, що не з'єднані лінією, ортогональні.

Матриця Картана

Матриця Картана системи коренів порядку r — це матриця $r\times r$, елементи якої визначаються простими коренями в такий спосіб:

$A_{ij}=2{\frac {(\alpha _{i},\alpha _{j})}{(\alpha _{i},\alpha _{i})}}$

де $(\cdot ,\cdot )$ — евклідовий скалярний добуток, а $\alpha _{i}$ — прості корені. Елементи матриці не залежать від вибору простих коренів (з точністю до порядку).

Матриця Картана для E₈ має вид

$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0&0&0\\0&0&0&-1&2&-1&0&0\\0&0&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&0&0&2\end{smallmatrix}}\right]$

Визначник цієї матриці дорівнює 1.

Посилання

• «Ну очень большой результат», Компьютерра, Галактион Андреев, 11 апреля 2007 года
• «В 248-мерное пространство прорвались теоретики» [Архівовано 3 квітня 2019 у Wayback Machine.], Cnews, 20 марта 2007 года