Зовнішня алгебра

Зо́внішня а́лгебра (алгебра Грассмана) — алгебраїчна система, що є узагальненням векторного добутку для лінійних просторів довільної розмірності. Вперше введена Грассманом.

Вводить асоціативну, білінійну та антикомутативну операцію зовнішнього добутку (позначається знаком $\wedge$).

Визначення

Зовнішня алгебра векторного простору $\ V$ над полем $\mathbb {K}$, це асоціативна алгебра над $\mathbb {K}$, для якої виконується:

$u\wedge v=-v\wedge u\quad \forall u,v\in V$

$u\wedge u=0\quad \forall u\in V$

$u\wedge k=k\wedge u,\quad k\in \mathbb {K} .$

Зовнішня алгебра позначається як $\ \bigwedge (V)$ і не залежить від вибору базиса.

Зв'язані визначення

• Для $r={\overline {0,n}}$ підпростір $\ \bigwedge ^{r}(V)$, з елементів виду $e_{i_{1}}\wedge ...\wedge e_{i_{r}}$, називається $\ r$-им зовнішнім ступенем простору $\ V$.

• Простір $\ \bigwedge (V)$ є прямою сумою підпросторів виду $\ \bigwedge ^{r}(V)$:

$\bigwedge (V)=\bigwedge ^{0}(V)\oplus \bigwedge ^{1}(V)\oplus \bigwedge ^{2}(V)\oplus \cdots \oplus \bigwedge ^{n}(V)$

Властивості

$\operatorname {dim} \bigwedge ^{r}(V)=C_{n}^{r}$

Приклади

.

Якщо є декартова площина ${\mathbb {R} }^{2}$ з ортонормованим базисом: $\mathbf {e_{1}} =(1,0),\quad \mathbf {e_{2}} =(0,1).$

Нехай

$\mathbf {v} =a\mathbf {e_{1}} +b\mathbf {e_{2}} ,\quad {\mathbf {w} }=c\mathbf {e_{1}} +d\mathbf {e_{2}}$

Тоді площа паралелограма основаного на векторах $\mathbf {v,w}$:

$A=\left|\det {\begin{bmatrix}{\mathbf {v} }&{\mathbf {w} }\end{bmatrix}}\right|=|v_{1}w_{2}-v_{2}w_{1}|.$

${\mathbf {v} }\wedge {\mathbf {w} }=(v_{1}{\mathbf {e} }_{1}+v_{2}{\mathbf {e} }_{2})\wedge (w_{1}{\mathbf {e} }_{1}+w_{2}{\mathbf {e} }_{2})=(v_{1}w_{2}-v_{2}w_{1}){\mathbf {e} }_{1}\wedge {\mathbf {e} }_{2}.$

Для двох векторів $\mathbf {a}$ і $\mathbf {b}$ їх зовнішнім добутком називається антисиметричний тензор з двома індексами:

$(1)\qquad (\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )_{ij}=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}={\begin{vmatrix}a_{i}&b_{i}\\a_{j}&b_{j}\end{vmatrix}}$

Величина (1) називається також бівектором.

Очевидно, що компоненти цього тензора є сукупністю $2\times 2$ мінорів наступної прямокутної $2\times n$ матриці:

${\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\\\cdots &\cdots \\a_{n}&b_{n}\end{bmatrix}}$

Формулу (1) можна узагальнити на більшу кількість співмножників (результуючий антисиметричний тензор має стільки ж індексів $m$, скільки є співмножників):

$(2)\qquad (\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \cdots \wedge \mathbf {h} )_{ij\dots p}={\begin{vmatrix}a_{i}&b_{i}&\cdots &h_{i}\\a_{j}&b_{j}&\cdots &h_{j}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{p}&b_{p}&\cdots &h_{p}\end{vmatrix}}$

Назвемо тензор (2) мультивектором. Компоненти мультивектра є сукупністю $m\times m$ мінорів прямокутної $m\times n$ матриці:

${\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&\cdots &h_{1}\\a_{2}&b_{2}&\cdots &h_{2}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{n}&b_{n}&\cdots &h_{n}\end{bmatrix}}$

Основні властивості зовнішнього добутку

Із властивостей визначників матриць можна зробити такі висновки:

Зовнішній добуток змінює знак на протилежний при перестановці будь-яких двох векторних співмножників:

$(3)\qquad \mathbf {b} \wedge \mathbf {a} \wedge \cdots \wedge \mathbf {h} =-(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \cdots \wedge \mathbf {h} )$

Зовнішній добуток лінійний окремо за кожним із співмножників:

$(4)\qquad (\alpha \mathbf {a} +\beta \mathbf {x} )\wedge \mathbf {b} \wedge \cdots \wedge \mathbf {h} =\alpha (\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \cdots \wedge \mathbf {h} )+\beta (\mathbf {x} \wedge \mathbf {b} \wedge \cdots \wedge \mathbf {h} )$

Зовнішній добуток дорівнює нулю, якщо його співмножники лінійно залежні:

$\alpha \mathbf {a} +\beta \mathbf {b} +\cdots +\chi \mathbf {h} =0$

зокрема якщо кількість співмножників більша за розмірність векторного простору $n$, або якщо два будь-які співмножники збігаються:

$(5)\qquad \mathbf {a} \wedge \mathbf {a} \wedge \dots =0$

Групування множників мультивектора

Розглянемо цю властивість на прикладі тривектора $\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c}$. Із перших двох множників складаємо бівектор:

$(6)\qquad {\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {a} \wedge \mathbf {b}$

тоді компоненти тривектора запишуться так:

$(7)\qquad (\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )_{ijk}={\begin{vmatrix}a_{i}&b_{i}&c_{i}\\a_{j}&b_{j}&c_{j}\\a_{k}&b_{k}&c_{k}\end{vmatrix}}=$

$\qquad =(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})c_{k}+(a_{k}b_{i}-a_{i}b_{k})c_{j}+(a_{j}b_{k}-a_{k}b_{j})c_{i}=\sigma _{ij}c_{k}+\sigma _{ki}c_{j}+\sigma _{jk}c_{i}$

Отже зовнішній добуток бівектора на вектор визначається формулою:

$(8)\qquad {\boldsymbol {\sigma }}\wedge \mathbf {c} =\mathbf {c} \wedge {\boldsymbol {\sigma }}=\sigma _{ij}c_{k}+\sigma _{ki}c_{j}+\sigma _{jk}c_{i}$

Більш загально, розклад визначника по першому рядку дає формулу зовнішнього добутку вектора $a_{i}$ на мультивектор $\tau _{i_{1}i_{2}\dots i_{m-1}}$:

$(9)\qquad (\mathbf {a} \wedge {\boldsymbol {\tau }})_{i_{1}i_{2}\dots i_{m}}=a_{i_{1}}\tau _{i_{2}i_{3}\dots i_{m}}-a_{i_{2}}\tau _{i_{1}i_{3}\dots i_{m}}+a_{i_{3}}\tau _{i_{1}i_{3}\dots i_{m}}-\cdots +(-1)^{m-1}a_{i_{m}}\tau _{i_{1}i_{2}\dots i_{m-1}}$

У кожному доданку суми у формулі (9) індекси мультивектора ${\boldsymbol {\tau }}$ є вибіркою $m-1$ індекса з набору $i_{1},i_{2},\dots i_{m}$ (за винятком того індекса, що стоїть біля вектора $\mathbf {a}$).

Якщо число $m$ непарне, то внаслідок антисиметрії тензора ${\boldsymbol {\tau }}$ формулу (9) можна записати ще так:

$(9a)\qquad (\mathbf {a} \wedge {\boldsymbol {\tau }})_{i_{1}i_{2}\dots i_{m}}=a_{[i_{1}}\tau _{i_{2}i_{3}\dots i_{m}]}$

де квадратними дужками позначено суму по циклічних перестановках індексів $i_{1},i_{2},\dots i_{m}$ (порівняйте з формулою (8)).

Також відмітимо зовнішній добуток двох бівекторів (викладки щодо розкриття визначника четвертого порядку пропускаємо):

$(10)\qquad ({\boldsymbol {\sigma }}\wedge {\boldsymbol {\rho }})_{ijkl}=(\sigma _{ij}\rho _{kl}+\sigma _{ki}\rho _{jl}+\sigma _{jk}\rho _{il})+(\rho _{ij}\sigma _{kl}+\rho _{ki}\sigma _{jl}+\rho _{jk}\sigma _{il})$

Взагалі, якщо ми маємо зовнішній добуток $k$ мультивекторів ${\boldsymbol {\tau }}_{1},{\boldsymbol {\tau }}_{2}\dots {\boldsymbol {\tau }}_{k}$ рангів $m_{1},m_{2},\dots m_{k}$ відповідно, то кількість доданків у формулі, що виражає компоненти зовнішнього добутку через компоненти співмножників, дорівнює:

$(11)\qquad {(m_{1}+m_{2}+\dots +m_{k})! \over {m_{1}!m_{2}!\cdots m_{k}!}}$

Мультивектор як орієнтована $m$-вимірна площадка

Хай ми маємо наступний мультивектор, складений із векторів $\mathbf {x} _{1},\dots \mathbf {x} _{m};\;(m\leq n)$:

$(12)\qquad {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {x} _{1}\wedge \mathbf {x} _{2}\wedge \dots \wedge \mathbf {x} _{m}$

Цей мультивектор ненульовий тільки тоді, коли вектори $\mathbf {x} _{i}$ лінійно незалежні, тобто вони визначають $m$-вимірний лінійний підпростір. Складемо з цих векторів $m$ лінійних комбінацій:

$(13)\qquad \mathbf {y} _{i}=\sum _{j=1}^{m}\alpha _{i}^{j}\mathbf {x} _{j},\qquad i={1,2,\dots m}$

і утворимо новий мультивектор із їхнього зовнішнього добутку:

$(14)\qquad {\hat {\boldsymbol {\tau }}}=\mathbf {y} _{1}\wedge \mathbf {y} _{2}\wedge \dots \wedge \mathbf {y} _{m}=\sum _{j_{1},j_{2},\dots j_{m}=1}^{m}\alpha _{1}^{j_{1}}\alpha _{1}^{j_{2}}\cdots \alpha _{m}^{j_{m}}(\mathbf {x} _{j_{1}}\wedge \mathbf {x} _{j_{2}}\wedge \dots \wedge \mathbf {x} _{j_{m}})$

В останній сумі відмінні від нуля лише ті доданки, в яких всі індекси $j_{1},j_{2},\dots j_{m}$ різні, тобто є перестановкою чисел $1,2,\dots m$. Більше того, з точністю до знаку всі зовнішні добутки в правій частині формули (14) рівні величині:

$\qquad \mathbf {x} _{1}\wedge \mathbf {x} _{2}\wedge \dots \wedge \mathbf {x} _{m}$

а знак дорівнює $+1$, коли $j_{1},j_{2},\dots j_{m}$ є парною перестановкою чисел $1,2,\dots m$, і дорівнює $-1$ для непарних перестановок. Тому маємо:

$(15)\qquad {\hat {\boldsymbol {\tau }}}=\mathrm {det} (\alpha )(\mathbf {x} _{1}\wedge \mathbf {x} _{2}\wedge \dots \wedge \mathbf {x} _{m})$

Як бачимо, новий мультивектор ${\hat {\boldsymbol {\tau }}}$ пропорційний мультивектору ${\boldsymbol {\tau }}$. Він буде дорівнювати старому мультивектору, якщо:

$(16)\qquad \mathrm {det} (\alpha _{j}^{i})=1$

Отже компоненти мультивектора ${\boldsymbol {\tau }}$ не прив'язані до фіксованого набору векторів, але тільки до орієнтованого $m$-вимірного підпростору, що проведений через ці вектори і скаляра - числа яке є нормою або величною мультивектора.

Підрахунок кількості параметрів

Довільний антисиметричний тензор $m$-рангу $t_{i_{1}i_{2}\dots i_{m}}$ має таку кількість незалежних компонент:

$(17)\qquad N_{t}=C_{n}^{m}={n! \over m!(n-m)!}$

Дійсно, для кожної виборки $m$ індексів $i_{1},i_{2},\dots i_{m}$ із $n$ чисел $1,2,\dots n$ ми можемо розмістити ці індекси в порядку зростання $i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{m}$, і приписати довільне значення компоненті тензора $t_{i_{1}i_{2}\dots i_{m}}$. Значення компоненти тензора з цими ж індексами, але розміщеними в іншому порядку (переставленими індексами) легко обчислюється виходячи з властивості антисиметрії.

Тепер розглянемо мультивектор ${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {x} _{1}\wedge \mathbf {x} _{2}\wedge \dots \wedge \mathbf {x} _{m}$ рангу $m$. Його компоненти обчислюються за формулою (2) через $mn$ чисел - координат векторів $\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\dots \mathbf {x} _{m}$. Але оскільки ці вектори задаються неоднозначно, але з точністю до лінійної підстановки (13), то від добутку $mn$ треба відняти число $m^{2}$ - кількість коефіцієнтів матриці переходу $\alpha _{i}^{j}$. І додати число 1, оскільки коефіцієнти матриці переходу зв'язані одним скалярним рівнянням (16). Таким чином, мультивектор ${\boldsymbol {\tau }}$ залежить від такої кількості параметрів:

$(18)\qquad N_{\tau }=mn-m^{2}+1=m(n-m)+1$

Відмітимо, що результат формул (17) і (18) не зміниться, якщо замінити $m$ на $n-m$. Це наслідок існування дуальних об'єктів для антисиметричного тензора і для мультивектора.

Формули (17) і (18) дають однаковий результат для таких чотирьох значень рангу $m$: скалярів ($m=0$), векторів ($m=1$), псевдовекторів ($m=n-1$) і псевдоскалярів ($m=n$). Покажемо, що для всіх інших значень $2\leq m\leq n-2$ (звісно при $n\geq 4$) кількість мультивекторів менша за кількість всіх антисиметричних тензорів (тобто існують тензори, що не є орієнтованими площадками). Для доведення скористаємося відомою комбінаторною рівністю:

$(19)\qquad C_{n}^{k}=C_{n-1}^{k}+C_{n-1}^{k-1}$

Послідовно застосовуючи її, знаходимо для формули (17):

$(20)\qquad N_{t}=C_{n}^{m}=C_{n-1}^{m}+C_{n-2}^{m-1}+\cdots +C_{n-m}^{1}+C_{n-m-1}^{0}=1+\sum _{k=1}^{m}C_{n-m-1+k}^{k}$

Позначимо $p=(n-1)-m>0$, і знаходимо різницю:

$(21)\qquad \Delta N=N_{t}-N_{\tau }=1+\sum _{k=1}^{m}C_{p+k}^{k}-m(n-m)-1=\sum _{k=1}^{m}\left(C_{p+k}^{k}-(n-m)\right)=\sum _{k=1}^{m}\left(C_{p+k}^{k}-C_{p+1}^{1}\right)$

Перший доданок у формулі (21) дорівнює нулю (при $k=1$), але в цій формулі наявні і інші доданки, оскільки $m\geq 2$. Усі ці інші доданки строго додатні, бо із (19) слідує нерівність:

$(22)\qquad C_{p+k}^{k}=C_{p+k-1}^{k}+C_{p+k-1}^{k-1}>C_{p+k-1}^{k-1}>C_{p+k-2}^{k-2}>\dots >C_{p+1}^{1}$

Представлення довільного антисиметричного тензора сумою мультивекторів

Нехай ми маємо довільний антисиметричний тензор $t_{i_{1}i_{2}\dots i_{m}}$ рангу $m$.

Розглянемо сукупність базисних векторів (індекси в дужках вгорі нумерують ці вектори, і не є координатами):

$(23)\qquad \mathbf {e} ^{(1)}=\{1,0,\dots 0\};\;\mathbf {e} ^{(2)}=\{0,1,\dots 0\};\;\dots \;\mathbf {e} ^{(n)}=\{0,0,\dots 1\}$

або в координатах:

$(23a)\qquad e_{j}^{(i)}=\delta _{j}^{i}\qquad (i,j\in \{1,2,\dots n\})$

З цих векторів утворимо сукупність мультивекторів рангу $m$:

$(24)\qquad \mathbf {E} ^{(i_{1}i_{2}\dots i_{m})}=\mathbf {e} ^{(i_{1})}\wedge \mathbf {e} ^{(i_{2})}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} ^{(i_{m})}$

Кожен мультивектор (24) має відмінну від нуля тільки одну (з точністю до перестановок індексів) компоненту:

$(25)\qquad (\mathbf {E} ^{(i_{1}i_{2}\dots i_{m})})_{i_{1}i_{2}\dots i_{m}}=1$

Тому тензор $\mathbf {t}$ можна записати у вигляді суми:

$(26)\qquad \mathbf {t} =\sum _{i_{1}<i_{2}<\dots <i_{m}}t_{i_{1}i_{2}\dots i_{m}}\mathbf {E} ^{(i_{1}i_{2}\dots i_{m})}$

Це представлення, разом із лінійністю зовнішнього добутку, дає змогу поширити зовнішній добуток на довільні антисиметричні тензори. Формули (8 - 10) і їм подібні залишаються справедливими і в випадку, коли ми вважаємо ${\boldsymbol {\tau }},{\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {\rho }}$ довільними антисиметричними тензорами.

Метричні властивості зовнішнього добутку

Нехай у векторному просторі задано метричний тензор $g_{ij}$. Ми можемо розглядати довжини векторів і кути між ними, піднімати і опускати індекси тензорів.

Піднесемо до квадрата бівектор ${\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {a} \wedge \mathbf {b}$:

$(27)\qquad \sigma _{ij}\sigma ^{ij}=(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(a^{i}b^{j}-a^{j}b^{i})=2(|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2})=$

$=2!{\begin{vmatrix}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} )&(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\\(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )&(\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} )\end{vmatrix}}$

Визначник Грамма двох векторів дорівнює квадрату площі $S=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \phi$ паралелограма, побудованого на цих векторах. Норма бівектора задається формулою:

$(28)\qquad |\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} |=S={\sqrt {\sum _{i<j}\sigma _{ij}\sigma ^{ij}}}$

Відмітимо формулу:

$(29)\qquad |\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} |^{2}+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}=(|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |)^{2}$

Тепер піднесемо до квадрата тривектор ${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c}$.

$(30)\qquad \tau _{ijk}\tau ^{ijk}=(a_{i}b_{j}c_{k}+a_{j}b_{k}c_{i}+a_{k}b_{i}c_{j}-a_{i}b_{k}c_{j}-a_{j}b_{i}c_{k}-a_{k}b_{j}c_{i})(a^{i}b^{j}c^{k}+a^{j}b^{k}c^{i}+a^{k}b^{i}c^{j}-a^{i}b^{k}c^{j}-a^{j}b^{i}c^{k}-a^{k}b^{j}c^{i})=$

$\qquad =3!{\begin{vmatrix}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} )&(\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} )&(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\\(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )&(\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} )&(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\\(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )&(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )&(\mathbf {c} \cdot \mathbf {c} )\end{vmatrix}}$

Визначник Грамма трьох векторів дорівнює квадрату об'єму $V$ паралелепіпеда, побудованого на цих векторах. Норма бівектора задається формулою:

$(31)\qquad |\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} |=V={\sqrt {\sum _{i<j<k}\tau _{ijk}\tau ^{ijk}}}$

Узагальнення формули (30) на мультивектори більшого рангу очевидне. Норма зовнішнього добутку $m$ векторів дорівнює $m$-мірному об'єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах.

Мультивектор можна уявляти у вигляді орієнтованої $m$-мірної площадки довільної форми, "площа" якої дорівнює об'єму паралелепіпеда побудованого на векторах-множниках мультивектора.

Згортка мультивектора з вектором

Розглянемо спочатку згортку тривектора $\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c}$ з контраваріантним вектором $v^{p}$. Результат згортки буде деякий тензор $\sigma _{ij}$ другого рангу:

$(31)\qquad \sigma _{ij}=(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )_{ijk}v^{k}$

Очевидно, що цей тензор антисиметричний. Доведемо, що він є бівектором, тобто знайдуться такі вектори ${\tilde {\mathbf {a} }},{\tilde {\mathbf {b} }}$ що ${\boldsymbol {\sigma }}={\tilde {\mathbf {a} }}\wedge {\tilde {\mathbf {b} }}$. Внаслідок лінійності визначника по останньому рядку маємо:

$(32)\qquad \sigma _{ij}={\begin{vmatrix}a_{i}&b_{i}&c_{i}\\a_{j}&b_{j}&c_{j}\\a_{k}&b_{k}&c_{k}\end{vmatrix}}v^{k}={\begin{vmatrix}a_{i}&b_{i}&c_{i}\\a_{j}&b_{j}&c_{j}\\(\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} )&(\mathbf {b} \cdot \mathbf {v} )&(\mathbf {c} \cdot \mathbf {v} )\end{vmatrix}}$

Якщо вектор $\mathbf {v}$ ортогональний до тривектора, тобто до кожного з векторів $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}$, то останній рядок в матриці формули (32) буде нульовим, і згортка тривектора з вектором буде дорівнювати нулю.

Тепер нехай вектор $\mathbf {v}$ буде не ортогональний до одного з векторів тривектора, наприклад $(\mathbf {c} \cdot \mathbf {v} )\neq 0$. Ми можемо у визначнику в правій частині формули (32) відняти від першого і другого рядків третій рядок з таким коефіцієнтом, щоб перетворити число з третьої колонки в нуль:

$(33)\qquad \sigma _{ij}={\begin{vmatrix}a_{i}-{(\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} ) \over (\mathbf {c} \cdot \mathbf {v} )}c_{i}&b_{i}-{(\mathbf {b} \cdot \mathbf {v} ) \over (\mathbf {c} \cdot \mathbf {v} )}c_{i}&0\\a_{j}-{(\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} ) \over (\mathbf {c} \cdot \mathbf {v} )}c_{j}&b_{j}-{(\mathbf {b} \cdot \mathbf {v} ) \over (\mathbf {c} \cdot \mathbf {v} )}c_{j}&0\\(\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} )&(\mathbf {b} \cdot \mathbf {v} )&(\mathbf {c} \cdot \mathbf {v} )\end{vmatrix}}=$

$\qquad =(\mathbf {c} \cdot \mathbf {v} ){\begin{vmatrix}a_{i}-{(\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} ) \over (\mathbf {c} \cdot \mathbf {v} )}c_{i}&b_{i}-{(\mathbf {b} \cdot \mathbf {v} ) \over (\mathbf {c} \cdot \mathbf {v} )}c_{i}\\a_{j}-{(\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} ) \over (\mathbf {c} \cdot \mathbf {v} )}c_{j}&b_{j}-{(\mathbf {b} \cdot \mathbf {v} ) \over (\mathbf {c} \cdot \mathbf {v} )}c_{j}\end{vmatrix}}$

Ми можемо внести множник всередину визначника, наприклад помноживши на перший стовпчик. Ми можемо взяти такі два вектора:

$(34)\qquad {\tilde {\mathbf {a} }}=(\mathbf {c} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {a} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {c} ,\qquad {\tilde {\mathbf {b} }}=\mathbf {b} -{(\mathbf {b} \cdot \mathbf {v} ) \over (\mathbf {c} \cdot \mathbf {v} )}\mathbf {c}$

через зовнішній добуток яких виражається наш результат згортки тривектора з вектором:

$(35)\qquad {\boldsymbol {\sigma }}={\tilde {\mathbf {a} }}\wedge {\tilde {\mathbf {b} }}$

Аналогічні викладки дають, що згортка будь-якого мультивектора з вектором є мультивектором на одиницю меншого рангу.

Внутрішній добуток мультивекторів

Позначимо операцію згортки мультивектора з вектором крапкою, такою самою як і в позначенні скалярного добутку векторів:

$(36)\qquad {\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathbf {v}$

$(36a)\qquad ({\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathbf {v} )_{i_{1}i_{2}\dots i_{m-1}}=\tau _{i_{1}i_{2}\dots i_{m-1}k}v^{k}$

і назвемо її внутрішнім добутком мультивектора на вектор.

Дослідимо властивості внутрішнього добутку. Якщо вектор $\mathbf {v}$ ортогональний до підпростору, в якому лежить мультивектор ${\boldsymbol {\tau }}$, то результатом внутрішнього добутку буде нуль. В іншому разі (неортогональності) результат є мультивектором ${\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathbf {v}$, який повністю лежить у підпросторі мультивектора ${\boldsymbol {\tau }}$ (оскільки кожен з векторів у формулі (34) лежить в ${\boldsymbol {\tau }}$). Спробуємо ще раз внутрішньо перемножити результат на той самий вектор $\mathbf {v}$:

$(37)\qquad (({\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathbf {v} )\cdot \mathbf {v} )_{i_{1}i_{2}\dots i_{m-2}}=\tau _{i_{1}i_{2}\dots i_{m-2}jk}v^{j}v^{k}=0$

Ми одержуємо нуль внаслідок антисиметричності мультивектора по індексах $j,k$.

Порівняння з векторним добутком векторів у тривимірному просторі

Розглянемо згортку бівектора з вектором:

$(38)\qquad a^{j}(\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )_{ij}=a^{j}(b_{i}c_{j}-b_{j}c_{i})=b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-c_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )$

а також властивість зовнішнього добутку трьох векторів:

$(39)\qquad \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} =\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} \wedge \mathbf {a} =\mathbf {c} \wedge \mathbf {a} \wedge \mathbf {b}$

Порівняємо з наступними формулами векторного добутку трьохмірних векторів:

$(40)\qquad \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )$

$(41)\qquad \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )$

Ми бачимо, що формули (40) і (41) аналогічні формулам (38) і (39), але якби переставлені. Ця переставленість виникає тому, що векторний добуток є дуальним тензором до бівектора:

$(42)\qquad (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )^{i}=\epsilon ^{ijk}a_{j}b_{k}=\sum _{j<k}\epsilon ^{ijk}(a_{j}b_{k}-a_{k}b_{j})$

де $\epsilon ^{ijk}$ є одиничним антисиметричним тензором тривимірного простору.