Рівняння xʸ = yˣ

Хоча операція піднесення до степеня не є комутативною, рівність $x^{y}=y^{x}$ виконується для деяких пар $(x,y),$ наприклад, $x=2,y=4.$ ^[1]

Історія

Рівняння $x^{y}=y^{x}$ згадано в листі Бернуллі до Гольдбаха (29 червня 1728 року^[2]). У листі сказано, що за $x\neq y$ пара $(2,4)$ — єдиний (з точністю до перестановки) розв'язок у натуральних числах, хоча існує безліч розв'язків у раціональних числах^[3]^[4]. У листі у відповідь Гольдбаха (31 січня 1729^[2]) міститься загальний розв'язок рівняння, отриманий заміною $y=vx.$ ^[3] Аналогічний розв'язок надав Ейлер^[4]. І. ван Генгель (J. van Hengel) вказав, що якщо $r,n$ — додатні цілі, $r\geqslant 3$ або $n\geqslant 3,$ то $r^{r+n}>(r+n)^{r},$ отже, для розв'язання рівняння в натуральних числах достатньо розглянути випадки $x=1$ і $x=2.$ ^[4]^[5]

Задачу неодноразово розглянуто в математичній літературі^[3]^[4]^[2]^[6]^[7]. 1960 року рівняння з'явилося серед завдань на олімпіаді імені Патнема^[en]^[8], що підштовхнуло А. Гауснера до розширення результатів на алгебричні поля^[3]^[9].

Розв'язки в дійсних числах

Основне джерело: ^[1]

Нескінченну множину тривіальних розв'язків у додатних дійсних числах знаходять як розв'язок рівняння $x=y.$ Нетривіальні розв'язки можна знайти, поклавши $x\neq y,$ $y=vx.$ Тоді

(vx)^{x}=x^{vx}=(x^{v})^{x}.

Піднесення обох частин до степеня ${\tfrac {1}{x}}$ із наступним діленням на $x$ дає

v=x^{v-1}.

Тоді нетривіальні розв'язки в додатних дійсних числах виражаються як

x=v^{\frac {1}{v-1}},

y=v^{\frac {v}{v-1}}.

Нетривіальний розв'язок у натуральних числах $4^{2}=2^{4}$ можна отримати, поклавши $v=2$ або $v={\tfrac {1}{2}}.$

Розв'язок в термінах W-функції Ламберта

Розв'язок рівняння $y^{x}=x^{y}$ можна також виразити через неелементарну W-функцію Ламберта $W(x)$ від змінної $x$ :

$y^{x}=x^{y}\Longleftrightarrow y^{\frac {1}{y}}=x^{\frac {1}{x}}$ , зробимо заміну $x={\frac {1}{z}}$ :

$y^{\frac {1}{y}}={\biggl (}{\frac {1}{z}}{\biggr )}^{1\div {\frac {1}{z}}}\Longleftrightarrow {\biggl (}{\frac {1}{z}}{\biggr )}^{z}=y^{\frac {1}{y}}\Longleftrightarrow z^{-z}=y^{\frac {1}{y}}\Longleftrightarrow z^{z}=y^{-{\frac {1}{y}}}$

Тепер змінну $z$ можна виразити через W-функцію Ламберта: $z=e^{W{\bigl (}\ln {\bigl (}y^{-{\frac {1}{y}}}{\bigr )}{\bigr )}}$

Остаточно розв'язок виглядатиме так: $x=e^{-W{\bigl (}\ln {\bigl (}y^{-{\frac {1}{y}}}{\bigr )}{\bigr )}}$

Зокрема, через неоднозначність цієї функції, на проміжку $e^{-{\frac {1}{e}}}\leqslant y^{-{\frac {1}{y}}}<1$ або $e^{\frac {1}{e}}\leqslant y^{\frac {1}{y}}<1$ рівняння матиме два корені $x_{1},x_{2}$ .

Який із параметрів ( $y$ чи $x$ ), буде змінною, по суті, не важливо, формула залишиться такою ж.

Якщо при змінній $x$ (або $y$ ) виконується нерівність $y$ (або $x$ )< $e^{\frac {1}{e}}$ , то коренів у дійсних числах немає.

Розв'язок у термінах суперкореня другого степеня

Рівняння $y^{x}=x^{y}$ є окремим випадком рівняння $y^{x}=bx^{n},{\text{ }}y,b=const$ при $b=1$ і $n=y$ . Підставивши ці значення в загальну формулу розв'язку, легко знайти і розв'язок початкового рівняння:

$y^{x}=x^{y}\Longleftrightarrow x_{1,2,3}=y\log _{y}{\biggl (}{}^{\frac {1}{2}}{\Bigl (}y^{\pm {\frac {1}{y\times {\sqrt[{y}]{1}}}}}{\Bigr )}{\biggr )}^{-1}\Longleftrightarrow x_{1,2,3}=-y\log _{y}{\biggl (}{}^{\frac {1}{2}}{\Bigl (}y^{\pm {\frac {1}{y}}}{\Bigr )}{\biggr )}$

Цей розв'язок повніший, оскільки дозволяє отримати від'ємні дійсні корені, якщо вони існують (бо логарифм, на відміну від експоненти в попередньому розв'язку, може бути меншим за нуль). Існування третього кореня пояснюється еквівалентністю рівнянь $y^{x}=x^{y}$ і $y^{x}=(-x)^{y}$ при парному $y$ , однак, на практиці, існує тільки, максимум, два дійсних корені (третій корінь у формулі обов'язково сторонній) через те, що функція суперкореня другого степеня $f(z)={}^{\frac {1}{2}}z$ обернена до описаної вище функції $f(z)=z^{z}$ (інакше $f(z)={}^{2}z$ ), яка виражається через W-функцію Ламберта, яка, у свою чергу, набувати більше двох дійсних значень не може^[10].

З цього розв'язку випливає тотожна рівність: $-y\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})={\frac {1}{{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})}}$ . Це легко довести, прирівнявши обидва описані вище розв'язки один до одного:

$-y\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})={\frac {1}{{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})}}\Longleftrightarrow {}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})=-{\frac {1}{y}}$ , далі відповідно до властивостей логарифма та суперкореня другого степеня:

$\log _{y}{\biggl (}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}}){\biggr )}^{{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})}=-{\frac {1}{y}}\Longleftrightarrow \log _{y}(y^{-{\frac {1}{y}}})=-{\frac {1}{y}}$ . Доведена тотожність є часткою від загальнішого випадку при $b=-y$ .

Примітки

↑ ^а ^б Lajos Lóczi. On commutative and associative powers. KöMaL. Архів оригіналу за 15 жовтня 2002.
↑ ^а ^б ^в David Singmaster. Sources in recreational mathematics: an annotated bibliography. 8th preliminary edition. Архів оригіналу за 16 квітня 2004.
↑ ^а ^б ^в ^г Marta Sved. On the Rational Solutions of x^y = y^x : [арх. 4 березня 2016] // Mathematics Magazine. — 1990.
↑ ^а ^б ^в ^г Leonard Eugene Dickson. Rational solutions of x^y = y^x // History of the Theory of Numbers. — Washington, 1920. — Vol. II. — P. 687.
↑ Hengel, Johann van. Beweis des Satzes, dass unter allen reellen positiven ganzen Zahlen nur das Zahlenpaar 4 und 2 für a und b der Gleichung a^b = b^a genügt. — 1888. — 16 червня. Архівовано з джерела 14 квітня 2016.
↑ Д. О. Шклярский, Н. Н. Ченцов, И. М. Яглом. 5. Решение уравнений в целых числах. Задача 168 // Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра. — 5. — М. : Наука, 1976. — С. 35. — 384 с. — (Библиотека математического кружка). — 100 000 екз.
↑ Гальперин Г. А., Толпыго А. К. Московские математические олимпиады: Кн. для учащихся / Под ред. А. Н. Колмогорова. — М. : Просвещение, 1986. — С. 33, 34, 160.
↑ The twenty-first William Lowell Putnam mathematical competition (December 3, 1960), afternoon session, problem 1 // The William Lowell Putnam mathematical competition problems and solutions: 1938-1964 / A. M. Gleason, R. E. Greenwood, L. M. Kelly. — MAA, 1980. — P. 59. — ISBN 0-88385-428-7.
↑ A. Hausner, Algebraic number fields and the Diophantine equation mⁿ = n^m, Amer. Math. Monthly 68 (1961), 856—861.
↑ А. Е. Дубинов, И. Д. Дубинова, С.К. Сайков. Архівована копія. — ISBN 5-9515-0065-6, ББК 22.311я 73, Д79. Архівовано з джерела 27 червня 2018

Посилання

Rational Solutions to x^y = y^x. CTK Wiki Math.
x^y = y^x — commuting powers. Arithmetical and Analytical Puzzles. Torsten Sillke. Архів оригіналу за 28 грудня 2015.
dborkovitz (29 січня 2012). Parametric Graph of x^y=y^x. GeoGebra.
послідовність A073084 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS: Десятковий розклад -x, де x — від'ємний розв'язок рівняння 2^x = x²

[loczy-1] а ^б Lajos Lóczi. On commutative and associative powers. KöMaL. Архів оригіналу за 15 жовтня 2002.

[Singmaster-2] а ^б ^в David Singmaster. Sources in recreational mathematics: an annotated bibliography. 8th preliminary edition. Архів оригіналу за 16 квітня 2004.

[Sved1990-3] а ^б ^в ^г Marta Sved. On the Rational Solutions of x^y = y^x : [арх. 4 березня 2016] // Mathematics Magazine. — 1990.

[Dickson-4] а ^б ^в ^г Leonard Eugene Dickson. Rational solutions of x^y = y^x // History of the Theory of Numbers. — Washington, 1920. — Vol. II. — P. 687.

[5] Hengel, Johann van. Beweis des Satzes, dass unter allen reellen positiven ganzen Zahlen nur das Zahlenpaar 4 und 2 für a und b der Gleichung a^b = b^a genügt. — 1888. — 16 червня. Архівовано з джерела 14 квітня 2016.

[problem168_1976-6] Д. О. Шклярский, Н. Н. Ченцов, И. М. Яглом. 5. Решение уравнений в целых числах. Задача 168 // Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра. — 5. — М. : Наука, 1976. — С. 35. — 384 с. — (Библиотека математического кружка). — 100 000 екз.

[mmo_1986-7] Гальперин Г. А., Толпыго А. К. Московские математические олимпиады: Кн. для учащихся / Под ред. А. Н. Колмогорова. — М. : Просвещение, 1986. — С. 33, 34, 160.

[8] The twenty-first William Lowell Putnam mathematical competition (December 3, 1960), afternoon session, problem 1 // The William Lowell Putnam mathematical competition problems and solutions: 1938-1964 / A. M. Gleason, R. E. Greenwood, L. M. Kelly. — MAA, 1980. — P. 59. — ISBN 0-88385-428-7.

[9] A. Hausner, Algebraic number fields and the Diophantine equation mⁿ = n^m, Amer. Math. Monthly 68 (1961), 856—861.

[10] А. Е. Дубинов, И. Д. Дубинова, С.К. Сайков. Архівована копія. — ISBN 5-9515-0065-6, ББК 22.311я 73, Д79. Архівовано з джерела 27 червня 2018

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]