W-функція Ламберта

W-функція Ламберта визначається як обернена функція до $f(w)=we^{w}$ , для комплексних $w$ . Позначається $W(x)$ чи $\operatorname {LambertW} (x)$ . Для довільного комплексного $z$ справедливо:

z=W(z)e^{W(z)}

$W$ -функція Ламберта не може бути виражена в елементарних функціях. Застосовується в комбінаториці, наприклад, при підрахунку кількості дерев, та при розв'язку рівнянь.

Історія

Функція вивчалась ще в роботі Леонарда Ейлера 1779 року, але не мала власної назви до 1980-х років. Як самостійна функція була введена в системі комп'ютерної алгебри Maple під іменем LambertW. Ім'я Йоганна Ламберта було вибране, оскільки Ейлер посилався в своїй роботі на праці Ламберта.

Многозначність

Дві головні гілки функції

W_{0}

та

W_{-1}

Графік W₀(x) для −1/e ≤ x ≤ 4

Оскільки функція $f(w)$ не є ін'єктивною на інтервалі $(-\infty ,0)$ , $W(z)$ є многозначною функцією на $[-{\frac {1}{e}},0)$ . Якщо обмежитись дійсними $z=x\geqslant -1/e$ і вимагати $w\geqslant -1$ , буде визначена однозначна функція $W_{0}(x)$ .

Властивості

Всі гілки W задовільняють диференціальні рівняння

z(1+W){\frac {{\rm {d}}W}{{\rm {d}}z}}=W,\quad z\neq -1/e.

{\frac {{\rm {d}}W}{{\rm {d}}z}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}},\quad z\not \in \{0,-1/e\}.

{\frac {{\rm {d}}W}{{\rm {d}}z}}={\frac {1}{z+e^{W(z)}}}.

Ці рівняння можуть бути проінтегровані із застосуванням підстановки x = w e^w:

{\begin{aligned}\int W(x)\,{\rm {d}}x&=xW(x)-x+e^{W(x)}+C\\&=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C.\\\end{aligned}}

Використовуючи $W(e)=1$ , отримаємо:

\int _{0}^{e}W(x)\,{\rm {d}}x=e-1.

Асимптоти

Ряд Тейлора для $W_{0}$ відносно 0 можна знайти застосувавши теорему Лагранжа про обернення ряду як:

W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}=x-x^{2}+{\frac {3}{2}}x^{3}-{\frac {8}{3}}x^{4}+{\frac {125}{24}}x^{5}-\cdots

Застосувавши ознаку д'Аламбера знаходимо радіус збіжності 1/e. Функція визначена рядом може бути аналітично розширена до голоморфної функції з точками розгалуження (−∞, −1/e].

Для великих значень x, W₀ асимптотична до

{W_{0}(x)=L_{1}-L_{2}+{\frac {L_{2}}{L_{1}}}+{\frac {L_{2}(-2+L_{2})}{2L_{1}^{2}}}+{\frac {L_{2}(6-9L_{2}+2L_{2}^{2})}{6L_{1}^{3}}}+{\frac {L_{2}(-12+36L_{2}-22L_{2}^{2}+3L_{2}^{3})}{12L_{1}^{4}}}+\cdots }

W_{0}(x)=L_{1}-L_{2}+\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{\ell }\left[{\begin{matrix}\ell +m\\\ell +1\end{matrix}}\right]}{m!}}L_{1}^{-\ell -m}L_{2}^{m}

де $L_{1}=\ln(x)$ , $L_{2}=\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}$ та $\left[{\begin{matrix}\ell +m\\\ell +1\end{matrix}}\right]$ не від'ємні числа Стірлінга першого роду. Залишивши тільки 2 перші доданки, отримаємо: