W-функція Ламберта
W-функція Ламберта визначається як обернена функція до , для комплексних . Позначається чи . Для довільного комплексного справедливо:
-функція Ламберта не може бути виражена в елементарних функціях. Застосовується в комбінаториці, наприклад, при підрахунку кількості дерев, та при розв'язку рівнянь.
Історія
ред.Функція вивчалась ще в роботі Леонарда Ейлера 1779 року, але не мала власної назви до 1980-х років. Як самостійна функція була введена в системі комп'ютерної алгебри Maple під іменем LambertW. Ім'я Йоганна Ламберта було вибране, оскільки Ейлер посилався в своїй роботі на праці Ламберта.
Многозначність
ред.Оскільки функція не є ін'єктивною на інтервалі , є многозначною функцією на . Якщо обмежитись дійсними і вимагати , буде визначена однозначна функція .
Властивості
ред.Всі гілки W задовільняють диференціальні рівняння
Ці рівняння можуть бути проінтегровані із застосуванням підстановки x = w ew:
Використовуючи , отримаємо:
Асимптоти
ред.Ряд Тейлора для відносно 0 можна знайти застосувавши теорему Лагранжа про обернення ряду як:
Застосувавши ознаку д'Аламбера знаходимо радіус збіжності 1/e. Функція визначена рядом може бути аналітично розширена до голоморфної функції з точками розгалуження (−∞, −1/e].
Для великих значень x, W0 асимптотична до
де , та не від'ємні числа Стірлінга першого роду. Залишивши тільки 2 перші доданки, отримаємо:
Інша дійсна гілка, , визначена на інтервалі [−1/e, 0), для визначені наступні обмеження:
- .
Застосування
ред....
Узагальнення
ред....
Див. також
ред.Джерела
ред.- Corless et al. (1996). «On the Lambert W function». Adv. Computational Maths. 5: 329-359.