Тотожністьматематиці) — рівність двох виразів, яка виконується на всій множині значень змінних (рівність, що виконується для будь-яких значень змінної), наприклад,

,
,
,
,
,
,
,
,

тощо.

Рівність має місце не для будь-якого значення , а тільки при . Така рівність не є тотожністю; вона називається рівнянням. Тотожністю називають також рівність, що не містить змінних; наприклад: .

Тотожність часто позначається символом «»

Формули скороченого множенняРедагувати

  • Квадрат суми (різниці):   справедлива рівності для будь яких  .
  • Різниця квадратів:   справедлива рівність для будь яких  .
  • Куб суми (різниці):   справедлива рівність для будь яких  .
  • Сума (різниця) кубів:   справедлива рівність для будь яких  .
  • Многочлени   справедлива рівність для будь яких  .[1]

ПропорціяРедагувати

Пропорція   є тотожність при всіх значеннях  , крім  , оскільки при   знаменники дробів перетворюються в нуль, тобто дроби не мають змісту. Заміна виразу   виразом   (скоротили на  ) є тотожнім перетворенням виразу   при обмеженнях:  .Отже,  =  — тотожність при всіх значеннях змінних, крім  [2].

Тотожності (властивості степенів)Редагувати

Для будь яких   і додатних   справедливі рівності:

 ;  ;  ;  ;  ;  ;  .

Логарифмічні тотожностіРедагувати

Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів; логарифм частки дорівнює різниці логарифмів. Логарифм степеня   дорівнює добутку показника степеня p на логарифм самого числа х; логарифм кореня p-го степеня з числа х — логарифм числа, поділений на p.[3] У наступній таблиці перелічені ці тотожності з прикладами. Дані логарифмічні тотожності виконуються за умови, що  ,  .

Формула Приклад
добуток    
частка    
степінь    
корінь    

З означення логарифма випливає, що при   виконується рівність  . ЇЇ називають основною логарифмічною тотожністю.[4]

Формула переходу до іншої основи логарифмуРедагувати

Прологарифмуємо за основою  , де  , обидві частини основної логарифмічної тотожності  . Отримаємо:   — формула переходу від логарифма з основою   до логарифма з основою  [5].

Тотожності гіперболічної функціїРедагувати

Гіперболічні функції задовольняють безліч тотожностей, всі вони подібні за формою до тригонометричних тотожностей. Правило Осборна[6] зазначає, що можна перетворити будь-яку тригонометричну тотожність у гіперболічну тотожність, розширивши її повністю. Функція Гудермана зв'язує тригонометричні функції і гіперболічні функції без залучення комплексних чисел.

  1.  
  2. Парність:
    1.  
    2.  
    3.  
  3. Формули додавання:
    1.  
    2.  
    3.  .

Приклади тотожностей в математиціРедагувати

Див. такожРедагувати

Примітки і джерелаРедагувати