Тотожністю є рівність, у якої права частина дорівнює лівій або розв'язки правої частини є також розв'язками лівої частини.

Наприклад,

a+b=b+a

2(а-7)=2а-14

Тотожністьматематиці) — рівність, що виконується на всій множині значень змінних (рівність, що виконується для будь-яких значень змінної), наприклад,

,
,
,
,
,
,
,

тощо.

Рівність має місце не для будь-якого значення , а тільки при . Така рівність не є тотожністю; вона називається рівнянням. Тотожністю називають також рівність, що не містить змінних; наприклад: .

Тотожність позначається «»

Формули скороченого множенняРедагувати

1. Квадрат суми (різниці):   справедлива рівності для будь яких  .

2. Різниця квадратів:   справедлива рівність для будь яких  .

3. Куб суми (різниці):   справедлива рівність для будь яких  .

4. Сума (різниця) кубів:   справедлива рівність для будь яких  .

5. Многочлени   справедлива рівність для будь яких  .[1]

ПропорціяРедагувати

Пропорція   є тотожність при всіх значеннях  , крім  , оскільки при   знаменники дробів перетворюються в нуль, тобто дроби не мають змісту. Заміна виразу   виразом   (скоротили на с) є тотожнім перетворенням виразу   при обмеженнях:  .Отже,  =  - тотожність при всіх значеннях змінних, крім  .[2]

Тотожності (властивості степенів)Редагувати

Для будь яких   і додатних   справедливі рівності:

 ;  ;  ;  ;  ;  ;  .

Логарифмічні тотожностіРедагувати

Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів; логарифм частки дорівнює різниці логарифмів. Логарифм степеня   дорівнює добутку показника степеня p на логарифм самого числа х; логарифм кореня p-го степеня з числа х - логарифм числа, поділений на p.[3] У наступній таблиці перелічені ці тотожності з прикладами. Дані логарифмічні тотожності виконуються за умови, що  ,  .

Формула Приклад
добуток    
частка    
степінь    
корінь    

З означення логарифма випливає, що при   виконується рівність  . ЇЇ називають основною логарифмічною тотожністю.[4]

Формула переходу до іншої основиРедагувати

Прологарифмуємо за основою с, де  , обидві частини основної логарифмічної тотожності  . Отримаємо:   - формула переходу від логарифма з основою   до логарифма з основою с.[5]

Тотожності гіперболічної функціїРедагувати

Гіперболічні функції задовольняють безліч тотожностей, всі вони подібні за формою до тригонометричних тотожностей. Правило Осборна[6] зазначає, що можна перетворити будь яку тригонометричну тотожність у гіперболічну тотожність, розширивши її повністю. Функція Гудермана зв'язує тригонометричні функції і гіперболічні функції без залучення комплексних чисел.

  1.  
  2. Парність:
    1.  
    2.  
    3.  
  3. Формули додавання:
    1.  
    2.  
    3.  . [7]

Приклади тотожностей в математиціРедагувати

Див. такожРедагувати

Примітки і джерелаРедагувати