Показникова функція

Показнико́ва, або експоненці́йна фу́нкція (англ. exponential function) — функція виду $f(x)=a^{x}\,\!$, де $~a$ — стале число (додатне, але відмінне від одиниці).

Показникова функція
Область значень	множина додатних дійсних чиселd
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Протилежне	логарифм
Показникова функція у Вікісховищі

У дійсному випадку основа степеня — деяке додатне дійсне число, а аргументом функції є дійсний показник степеня.

Показникова функція узагальнюється в теорії комплексних функцій, де аргумент і показник степеня можуть бути довільними комплексними числами.

У найзагальнішому вигляді — $~u^{v}$, введена Лейбніцем 1695 року.

Особливо виділяється випадок, коли як основа степеня виступає число e. Така функція називається експоне́нтою (дійсною або комплексною).

Визначення

Нехай $a$ — додатне дійсне число, $x$ — раціональне число: $x={\frac {m}{n}}$. Тоді $a^{x}\,\!$ визначається за такими правилами.

• Якщо $x>0$, то $a^{x}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$.
• Якщо $x=0$, то $\ a^{x}=1$.
• Якщо $x<0$, то $a^{x}={\frac {1}{a^{|x|}}}$ (для $\ a>0$).

Показникову функцію $\exp :\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ можливо визначити багатьма еквівалентними способами. Зазвичай її визначають за допомогою наступного степеневого ряду:

$\exp(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{z^{k} \over k!}=1+z+{z^{2} \over 2}+{z^{3} \over 6}+{z^{4} \over 24}+\cdots$

Оскільки радіус збіжності цього степеневого ряду є нескінченним, це визначення застосовується для всіх комплексних чисел $z$. Сталу e можна визначити як ${\textstyle e=\exp(1)=\sum _{k=0}^{\infty }(1/k!)}$.

Для довільного дійсного показника $x$ значення $a^{x}$ можна визначити як границю послідовності $a^{r_{n}}$, де $r_{n}$ — раціональні числа, що сходяться до $x$. Для експоненти є й інші визначення через границю, наприклад:

$e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.$

Основні властивості

Дійсну показникову функцію визначено на всій дійсній осі більше нуля. При $a>1$ вона всюди зростає; при $0<a<1$ функція спадає на всій області визначення.

Виконуються тотожності

• $a^{0}=1$;
• $a^{x+y}=a^{x}a^{y}$;
• $(a^{x})^{y}=a^{xy}$.

Зворотна функція до показникової функції — логарифм.

Показникова функція росте на нескінченності швидше будь-якої степеневої:

$\lim \limits _{x\to \infty }{\frac {x^{n}}{a^{x}}}=0$

Показникова функція нескінченно диференційована, її похідною є ${d \over dx}a^{x}=(\ln a)a^{x}.$

Експонента

e — це таке унікальне число a, при якому похідна (іншими словами тангенс кута нахилу дотичної) показникової функції f (x) = a^x (синя крива) в точці x = 0 в точності дорівнює 1. Для порівняння показані функції 2^x (точкова крива) та 4^x (пунктирна крива); тангенс нахилу їхньої дотичної відмінний від 1 (ця дотична намальована червоним)

Експонента ($\exp$) — функція $\exp(x)=e^{x}\,$, де e — основа натурального логарифма ($e\approx 2{,}718\,281\,828\,459$ — число Ейлера).

Властивості

Експонента є визначеною на всій дійсній осі. Вона усюди зростає й є більшою за нуль. Зворотною функцією до неї є натуральний логарифм.

Експонента є нескінченно диференційованою. Її похідна в точці нуль дорівнює «1», тому дотична в цій точці проходить під кутом 45°.

Основна функціональна властивість експоненти: $\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)\,$. Неперервна функція з такою властивістю або тотожно дорівнює 0, або має вид $\exp(ct)\,$, де $c$ — деяка стала.

Формальне визначення

Експоненційна функція (синя лінія), і сума перших n + 1 членів степеневого ряду записаного зліва (червона лінія).

Експоненційну функцію може бути означено двома еквівалентними способами. Через ряд Тейлора:

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots .$

або через границю:

$e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }(1+x/n)^{n}$

Тут x — довільне дійсне, комплексне, p-адичне число або обмежений лінійний оператор.

Комплексна експонента

Графік експоненти в комплексній площині.
Легенда

Комплексна експонента — математична функція, що означується співвідношенням $f(z)=e^{z}$, де $z$ є комплексним числом. Комплексна експонента означується як аналітичне продовження експоненти $f(x)=e^{x}$ дійсної змінної $x$:

Означмо формальний вираз

$e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}\cdot e^{iy}$.

Означений таким чином вираз на дійсній осі буде збігатися з класичною дійсною експонентою. Для повної коректності побудови необхідно довести аналітичність функції $e^{z}$, тобто показати, що $e^{z}$ розкладається в деякий збіжний до даної функції ряд. Покажемо це:

$f(z)=e^{z}=e^{x}\cdot e^{iy}=e^{iy}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

Збіжність даного ряду легко доводиться:

$\left|e^{iy}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \left|\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \sum _{n=0}^{\infty }\left|{\frac {x^{n}}{n!}}\right|=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {|x|^{n}}{n!}}=e^{|x|}$.

Ряд усюди збігається абсолютно, тобто взагалі всюди збігається, таким чином, сума цього ряду в кожній конкретній точці буде визначати значення аналітичної функції $f(z)=e^{z}$. Відповідно до теореми єдиності, отримане продовження буде єдиним, отже, на комплексній площині функція $e^{z}$ є всюди визначеною й аналітичною.

Властивості

• Комплексна експонента — ціла голоморфна функція на всій комплексній площині. Вона в жодній точці не обертається на нуль.
• $e^{z}$ — періодична функція з основним періодом 2πi: $e^{i\varphi }=e^{i(\varphi +2\pi )}$. Через періодичність комплексна експонента має безліч листів. Як її однолисну область можна вибрати будь-яку горизонтальну смугу висотою $2\pi$.
• $e^{z}$ — єдина функція, похідна (а також, відповідно, й інтеграл) якої дорівнює їй самій.
• Алгебрично експоненту від комплексного аргументу $z=x+iy$ може бути визначено наступним чином:

  $e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(\cos \,y+i\sin \,y)$ (формула Ейлера)

  • Зокрема, має місце (тотожність Ейлера)

    $e^{i\pi }+1=0$

Графіки функції

Показникова функція відображує будь-яку пряму в комплексній площині у логарифмічну спіраль на комплексній площині з центром в початку координат. Необхідно відмітити два особливі випадки: коли початкова пряма є паралельною до осі дійсних чисел, отримувана в результаті спіраль ніколи не замикається в собі; коли пряма є паралельною осі уявних чисел, отримувана в результаті спіраль є колом із деяким радіусом.

• Графіки показникової функції у комплексній площині
• 
  z = Re(e^{x + iy})
• 
  z = Im(e^{x + iy})
• 
  $z=|e^{x+iy}|$

Література

• С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)

Посилання

• Показникова функція // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 179. — 594 с.
• «Експонента і число е: просто і зрозуміло» [Архівовано 22 грудня 2016 у Wayback Machine.] (рос.) — переклад статті «An Intuitive Guide To Exponential Functions & e | BetterExplained» [Архівовано 23 червня 2007 у Wayback Machine.] (англ.)
• Способи розв'язання показникових рівнянь^{[недоступне посилання з липня 2019]}