Парні та непарні функції

Парні функції і непарні функції — математичні функції, які задовольняють певним відношенням симетрії. Ця властивість функцій важлива в багатьох областях математичного аналізу, особливо в теорії степеневих рядів і рядів Фур'є. Названі на честь парності степенів степеневих функцій, які задовольняють кожну умову: функція $f(x)=x^{n}$ є парною, якщо n — парне ціле число, і непарною, якщо n — ціле непарне число.

Парні функції

Приклад парної функції: f(x) = x²

Функція $f:\mathrm {X} \subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ називається парною, якщо для будь-якого $x$ з області визначення функції виконується рівність$f(-x)=f(x)$.

Графік парної функції симетричний відносно осі ординат.

Приклади парних функцій:

• $y=|x|$
• $y=x^{2}$
• $y=\cos x$

Алгоритм дослідження функції $y=f(x)$ на парність:

• Знайти для функції $y=f(x)$ область визначення функції $D(y)$ та встановити чи симетрична $D(y)$ відносно нуля.
• Якщо область визначення функції $D(y)$ симетрична відносно нуля, тоді:
  • скласти вираз $f(-x)$;
  • порівняти $f(-x)$ та$f(x)$ , якщо функція $f(x)=f(-x)$ для будь-якого значення $x$ з області визначення функції $D(y)$, то функція $y=f(x)$ — парна.

Приклад

Дослідити на парність функцію $y=4x^{6}-3x^{4}+5$

Розв'язання: $f(-x)=4(-x)^{6}-3(-x)^{4}+5=4(x)^{6}-3(x)^{4}+5=f(x)$, отже функція парна.

Якщо точка $M(a;b)$ належить графіку парної функції $f$, то точка $M(-a;b)$ також належить її графіку.

Непарні функції

Приклад непарної функції: f(x) = x³.

Функція $f:\mathrm {X} \subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ називається непарною, якщо для будь-якого $x$ з області визначення функції виконується рівність$f(-x)=-f(x)$.

Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.

Приклади непарних функцій

• $y=-x$
• $y=x^{3}$
• $y=\sin x$

Алгоритм дослідження функції $y=f(x)$ на непарність:

• Скласти вираз $f(-x)$, для цього у функції $y=f(x)$ замінити аргумент $x$ на $-x$;
• Порівняти $f(-x)$ і $-f(x)$, якщо $f(-x)=-f(x)$, то функція — непарна.

Приклад

З'ясувати, чи функція $f(x)=3x^{5}-8x^{3}$ — парна, непарна або загального виду.

$f(-x)=3(-x)^{5}-8(-x)^{3}=-3x^{5}+8x^{3}=-(3x^{5}-8x^{3})=-f(x)$, тобто, функція непарна.

Якщо точка $M(a;b)$ належить графіку непарної функції $f$, то точка $M(-a;-b)$ також належить її графіку.

Основні властивості

• Алгебраїчна сума двох парних (непарних) функцій є парною (непарною) функцією.
• Добуток двох парних або двох непарних функцій парною функцією.
• Добуток парної та непарної функцій є непарною функцією.
• Як для парної, так і для непарної функцій справедливо $\left|f(x)\right|=\left|f(-x)\right|$.
• Розклад в ряд Маклорена парної функції містить лише члени з парними степенями.
• Розклад в ряд Маклорена непарної функції містить лише члени з непарними степенями.
• Похідна парної функції — непарна; похідна непарної функції — парна.

Декомпозиція функцій

Довільну функцію $f(x)$ одного змінного, визначену в симетричній відносно початку координат області (разом із $x$ до області визначення належить і $-x$), можна представити у вигляді суми парної та непарної функцій:

$f(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}}+{\frac {f(x)-f(-x)}{2}}$

Тут перший доданок є парною, а другий — непарною функцією.

Див. також

• Парна функція
• Непарна функція

Джерела

• Мерзляк, А.Г.; Номіровський, Д.А.; Полонський, В.Б; Якір, М.С. (2018). Алгебра профільний рівень 10 клас. Гімназія. ISBN 978-966-474-311-9.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2300+ с.(укр.)