Багатозначна функція

Багатозна́чна фу́нкція — узагальнення поняття функції, що допускає наявність декількох значень функції для одного аргументу[1].

Функція від елемента «3» набуває двох значень

ВизначенняРедагувати

Функція  , яка кожному елементу множини   ставить у відповідність деяку підмножину множини   називається багатозначною функцією[2], якщо хоча б для одного   значення   містить більше одного елемента  

Звичайні (однозначні) функції можна розглядати як окремий випадок багатозначних, у яких значення складається рівно з одного елемента.

ПрикладиРедагувати

Найпростіший приклад — двозначна функція квадратного кореня з додатного числа, у неї два значення, що розрізняються знаком. Наприклад, квадратний корінь з 16 має два значення —   і  

Інший приклад — обернені тригонометричні функції (наприклад, арксинус) — оскільки значення прямих тригонометричних функцій повторюються з періодом   або   то значення обернених функцій багатозначні («нескінченнозначні»), всі вони мають вигляд   або   де   — довільне ціле число.

Багатозначні функції незручно використовувати у формулах, тому з їх значень нерідко виділяють одне, яке називають головним. Для квадратного кореня це додатне значення, для арксинуса — значення, що потрапляє в інтервал   тощо.

Первісну функцію (невизначений інтеграл) також можна розглядати як нескінченнозначну функцію, оскільки вона визначена з точністю до сталої інтегрування.

У комплексному аналізі та алгебріРедагувати

Характерний приклад багатозначних функцій — деякі аналітичні функції в комплексному аналізі. Неоднозначність виникає при аналітичному продовженні за різними шляхами. Також часто багатозначні функції виходять як результат взяття обернених функцій.

Наприклад, корінь n-го степеня з будь-якого ненульового комплексного числа набуває рівно   значень. У комплексного логарифма число значень нескінченне, одне з них оголошено головним.

У комплексному аналізі поняття багатозначної функції тісно пов'язане з поняттям ріманової поверхні — поверхні в багатовимірному комплексному просторі, на якій дана функція стає однозначною.

Див. такожРедагувати

ПриміткаРедагувати

ЛітератураРедагувати