Первісна
Пе́рві́сною для функції f(x) називається така функція F(x), похідна якої F'(x) дорівнює f(x).
Операція взяття первісної є оберненою (в деякому сенсі) до операції взяття похідної: первісними для похідної f(x) будуть функції F(x) + C, де C ∈ R — довільна стала (зокрема, однією з первісних буде сама функція F(x)). І навпаки, похідною від первісної F(x) для функції f(x) буде сама функція f(x).
Формальне означення та властивості первісної
ред.Надалі через J будемо позначати довільний непорожній інтервал дійсних чисел (відкритий або замкнений, обмежений або необмежений).
Означення. Функція F(x) називається первісною (примітивною) для функції f(x) на інтервалі J дійсної осі, якщо f(x) = F'(x) для всіх x ∈ J.
Нехай функція F — первісна функції f на інтервалі J. Тоді
- функція F(x) є неперервною на інтервалі J;
- функція F(x) + C теж є первісною для f на J, де C ∈ R — довільна стала (якщо функція f(x) має первісну, то вона має нескінченну кількість первісних);
- будь-яка первісна для f на J може бути представлена у вигляді F(x) + C, де C ∈ R — довільна стала.
Приклад. Для функції y = 3x2 первісними є функції F(x) = x3, F(x) = x3 + 5, F(x) = x3 − 6 тощо (на довільному інтервалі J).
Не всі функції мають первісну.
Приклад. Функція
не має первісної на відрізку [−1, 1].[1]
Теорема. Для довільної неперервної на деякому інтервалі J функції f існує первісна на цьому інтервалі.[2]
Методи знаходження первісної
ред.Знаходження первісної для заданої функції f(x) називається інтегруванням. Для обчислення первісної використовуються ті самі методи, що і для обчислення невизначеного інтегралу, а саме
Не завжди первісну можна записати у вигляді скінченної комбінації елементарних функцій (наприклад, функція exp(x2) має первісну як неперервна функція, проте ця первісна не виражається аналітично). В такому разі первісну треба шукати у вигляді функціонального ряду або нескінченного добутку елементарних функцій.
Див. також
ред.Джерела
ред.- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
- Іваненко, О. О. Курс лекцій з математичного аналізу [Текст : навч. посіб. / О. О. Іваненко, Т. В. Іваненко. — Суми : СумДУ, 2011. — 534 с.]
- Динамічні математичні моделі FIZMA.neT
- Первісна функція // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 368. — 594 с.
Примітки
ред.
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |