Пе́рві́сною для функції f(x) називається така функція F(x), похідна якої F'(x) дорівнює f(x).

Первісними для функції f(x)=2x є функції вигляду x²+C, де C — довільна стала

Операція взяття первісної є оберненою (в деякому сенсі) до операції взяття похідної: первісними для похідної f(x) будуть функції F(x) + C, де CR — довільна стала (зокрема, однією з первісних буде сама функція F(x)). І навпаки, похідною від первісної F(x) для функції f(x) буде сама функція f(x).

Формальне означення та властивості первісної

ред.
 
Поле напрямків функції ƒ(x) = (x3/3)-(x2/2)-x+c, на якому зображено три розв'язки, отримані шляхом варіювання довільної константи C.

Надалі через J будемо позначати довільний непорожній інтервал дійсних чисел (відкритий або замкнений, обмежений або необмежений).

Означення. Функція F(x) називається первісною (примітивною) для функції f(x) на інтервалі J дійсної осі, якщо f(x) = F'(x) для всіх xJ.

Нехай функція F — первісна функції f на інтервалі J. Тоді

  • функція F(x) є неперервною на інтервалі J;
  • функція F(x) + C теж є первісною для f на J, де C ∈ R — довільна стала (якщо функція f(x) має первісну, то вона має нескінченну кількість первісних);
  • будь-яка первісна для f на J може бути представлена у вигляді F(x) + C, де C ∈ R — довільна стала.

Приклад. Для функції y = 3x2 первісними є функції F(x) = x3, F(x) = x3 + 5, F(x) = x3 − 6 тощо (на довільному інтервалі J).

Не всі функції мають первісну.

Приклад. Функція

 

не має первісної на відрізку [−1, 1].[1]

Теорема. Для довільної неперервної на деякому інтервалі J функції f існує первісна на цьому інтервалі.[2]

Методи знаходження первісної

ред.

Знаходження первісної для заданої функції f(x) називається інтегруванням. Для обчислення первісної використовуються ті самі методи, що і для обчислення невизначеного інтегралу, а саме

Не завжди первісну можна записати у вигляді скінченної комбінації елементарних функцій (наприклад, функція exp(x2) має первісну як неперервна функція, проте ця первісна не виражається аналітично). В такому разі первісну треба шукати у вигляді функціонального ряду або нескінченного добутку елементарних функцій.

Див. також

ред.

Джерела

ред.

Примітки

ред.
  1. Доведення див. в § 5.1.1 в Дороговцев А. Я. Математический анализ. — К. : Факт, 2004. — 560с.
  2. Доведення див. в п. 183 Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа в 2 т. / Под ред. Головиной Л. И. — Москва : Наука, 196. — 1968. — Т. 1.