Відкрити головне меню
Ріманова поверхня ƒ(z) = √z

Ріманова поверхня — традиційна в комплексному аналізі назва 1-вимірного комплексного многовиду. Такі поверхні почав систематично вивчати Бернгард Ріман. Прикладами ріманових поверхонь є комплексна площина і сфера Рімана.

Зміст

ВизначенняРедагувати

Зв'язний гаусдорфів топологічний простір R називається рімановою поверхнею, якщо на ньому можна задати покриття відкритими множинами   причому кожній множині   відповідає гомеоморфне відображення   із множини   у деяку відкриту підмножину комплексної площини, причому якщо перетин   є непустою множиною, то функція:

 

є голоморфною. Множина   при цьому називається атласом, а її елементи картами. Якщо даний топологічний простір є також компактним, то ріманова поверхня називається компактною або замкнутою

ПрикладиРедагувати

 
Сфера Рімана.
  • Комплексна площина   є одним із найпростішим прикладів ріманової поверхні. Одиничне відображення   визначає карту на множині  , і   є необхідним атласом. Відображення   (комплексне спряження) також визначає атлас на  . Дані атласи не є еквівалентними.
  • Подібним чином кожна відкрита множина комплексної площини є рімановою поверхнею.
  • Нехай   де   і   де  . Тоді   із своїми областями визначення визначають атлас. Множина   з визначеною таким чином комплексною структурою є компактною рімановою поверхнею гомеоморфною сфері. Дана поверхня називається рімановою сферою.
 
Тор

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Форстер О. Римановы поверхности. М: Мир, 1980 247 ст.
  • Farkas, Hershel M.; Kra, Irwin (1980), Riemann Surfaces (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90465-8