Еліптичні функції Веєрштрасса

Еліптичні функції Веєрштрасса — одні з найпростіших еліптичних функцій. Цей клас функцій названий на честь Карла Веєрштрасса. Також їх називають -функціями Веєрштрасса, і використовують для їх позначення символ (стилізоване P).

Визначення ред.

Нехай задана деяка ґратка   в  . Тоді  -функцією Веєрштрасса на ній називається мероморфна функція, задана як сума ряду

 

Можна побачити, що така функція буде  -періодичною на  , і тому є мероморфною функцією на  .

Ряд, що задає функцію Веєрштрасса є, в певному значенні, «регуляризованою версією» розбіжного ряду,   — «наївної» спроби задати  -періодичну функцію. Цей ряд є абсолютно розбіжним (а за відсутності природного порядку на   має сенс говорити тільки про абсолютну збіжність) при всіх z, оскільки при фіксованому z і при великих w модулі його членів поводяться як  , а сума   по двовимірних ґратках   є розбіжною.

Варіанти визначення ред.

Задаючи ґратку   її базисом  , можна записати

 

Також, оскільки функція Веєрштрасса як функція трьох змінних однорідна  , позначивши  , має місце рівність:

 

Тому розглядають

 

Властивості ред.

  • Функція Веєрштрасса   — парна мероморфна функція, з єдиним полюсом другого порядку в точці 0.
  • Скориставшись розкладом   і посумувавши по  , можна одержати розклад в точці   функції Веєрштрасса в ряд Лорана:

  де    — ряди Ейзенштейна для ґратки   (відповідні непарні суми рівні нулю).

Проте, коефіцієнти при   і   часто записують в іншій, традиційній формі:

 

де   і   — модулярні інваріанти ґратки  :

 

Диференціальні і інтегральні рівняння ред.

Диференціальні рівняння ред.

З визначеними раніше позначеннями, ℘ функція задовольняє наступне диференціальне рівняння:

 .

Інтегральні рівняння ред.

Еліптичні функції Веєрштрасса можуть бути подані через обертання еліптичних інтегралів. Нехай

 

де g2 і g3 приймаються константами. Тоді

 

Модулярний дискримінант ред.

 
Дійсна частина дискримінанта як функція від   на одиничному крузі

Модулярний дискримінант   еліптичної функції Веєрштрасса означується як дискримінант многочлена в правій частині диференціального рівняння наведеного вище:

 

Дискримінант є модулярною формою ваги 12. Це означає, що під дією модулярної групи він перетворюється за правилом

 
де   такі, що  .[1]

Справедлива рівність  , де   позначає ета-функцію Дедекінда[en].[2]

Коефіцієнти Фур'є розкладу   в ряд по степенях   визначаються через тау-функцію Рамануджана[en].

Додаткові властивості ред.

Для еліптичних функцій Веєрштрасса виконується:

 

(або в більш симетричній формі

 

де  ).

Також

 

і

 

якщо   не є періодом.

Вираження довільних еліптичних функцій через функції Веєрштрасса ред.

Будь-яка еліптична функція з періодами   і   може бути представлена у вигляді   де h, g — раціональні функції,   — функція Веєрштрасса з тими ж періодами що і у  . Якщо при цьому   є парною функцією, то її можна представити у вигляді  , де h раціональна. Іншими словами поле еліптичних функцій з фундаментальними періодами   і   є скінченним розширенням поля   комплексних чисел, з породжуючими елементами   і  .

Див. також ред.

Примітки ред.

  1. Apostol, Tom M. (1976). Modular functions and Dirichlet series in number theory. New York: Springer-Verlag. с. 50. ISBN 0-387-90185-X. OCLC 2121639. 
  2. Chandrasekharan, K. (Komaravolu), 1920- (1985). Elliptic functions. Berlin: Springer-Verlag. с. 122. ISBN 0-387-15295-4. OCLC 12053023. 

Література ред.

  1. K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
  2. Serge Lang, Elliptic Functions (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6