Теорема Рімана — Роха

Теорема Рімана — Роха — твердження в комплексному аналізі, що визначає розмірність векторного простору мероморфних функцій ріманової поверхні з нулями і полюсами визначених порядків в заданих точках поверхні. Названа на честь німецьких математиків Бернхарда Рімана і Ґустава Роха.

Допоміжні визначення

Нехай X — компактна ріманова поверхня роду g. Групою дивізорів $\operatorname {div} (X)$ цієї поверхні називається вільна абелева група породжена точками X. Елементами $\operatorname {div} (X)$ є скінченні суми $\sum n_{i}P_{i},\,n_{1}\in \mathbb {Z} ,P_{i}\in X$. Дивізор $D=\sum n_{i}P_{i}$ називається додатним (позначається $D\geq 0$), якщо всі $n_{i}\geq 0$. Також використовується позначення $D\geq D_{1}$ якщо $D-D_{1}\geq 0$. Порядок дивізора $\deg(D)$ визначається як $\deg(D)=\sum n_{i}$. Для мероморфної функції f визначеної в X можна визначити дивізор $\operatorname {div} (f)=\sum n_{i}P_{i}$, де $P_{i}$ — нулі і полюси функції f і $n_{i}=a$, якщо $P_{i}$ — нуль порядку a і $n_{i}=-a$, якщо $P_{i}$ — полюс порядку a. Дивізори D для яких існує мероморфна функція f така, що $D=\operatorname {div} (f)$ називаються головними. Два дивізори називаються лінійно еквівалентними, якщо їх різниця є головним дивізором. Оскільки порядок довільного головного дивізора рівний нулю то можна говорити також про порядок класу лінійної еквівалентності дивізорів. Якщо $\omega$ — диференційна мероморфна 1-форма на ній подібно до мероморфної функції можна задати дивізор. Оскільки $\operatorname {div} (f\omega )=\operatorname {div} (f)+\operatorname {div} (\omega )$ то всі такі дивізори (канонічні дивізори) належать одному класу. Такі дивізори найчастіше позначаються K. Позначимо тепер

$L(D):=\left\{f\in M(X)\,|\,\operatorname {div} (f)+D\geq \;0\right\}$.

Дана множина є векторним простором над полем комплексних чисел. Його розмірність позначається $\ell (D)$.

Твердження теореми

З використанням введених вище позначень твердження теореми для X — компактної ріманової поверхні роду g запишеться:

$\ell (D)-\ell (K-D)=\deg D+1-g$

Література

• Jost, Jürgen (2006), Compact Riemann Surfaces, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-33065-3
• Shigeru Mukai; William Oxbury (translator) (2003). An Introduction to Invariants and Moduli. Cambridge studies in advanced mathematics. 81. New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-80906-1.
• Misha Kapovich [Архівовано 8 серпня 2009 у Wayback Machine.], The Riemann-Roch Theorem [Архівовано 7 жовтня 2008 у Wayback Machine.]