Відкрити головне меню
Гамма-функція мероморфна на всій комплексній площині

У комплексному аналізі меромо́рфною фу́нкцією (від грец. μέροςдріб, грец. ὅλος — вид) на підмножині називається функція, що є голоморфною, на множині , за винятком деякої множини особливих точок , яка не має граничних точок і в кожній з яких функція має полюс (тобто для всіх ). Оскільки множина особливих точок не має граничних точок, вона є не більш, ніж зліченною.

Будь-яку мероморфну функцію на підмножині можна задати як частку між двома голоморфними функціями (зі знаменником не рівним нулю) визначених на . Отже, мероморфна функція — це відношення двох голоморфних функцій. Така функція буде голоморфною, окрім точок, де знаменник дробу обертається в нуль і значення функції прямує до нескінченності.

З алгебраїчної точки зору, якщо множина зв'язна, тоді множина мероморфних функцій є полем часток множини голоморфних функцій на , яка є областю цілісності . Аналогічно встановлюється залежність між множиною раціональних та цілих чисел.

Відповідно мероморфною функцією на всій комплексній площині є частка будь-яких двох цілих функцій, тобто частки сум двох степеневих рядів, які збігаються у будь-якій точці.

Зміст

ПрикладиРедагувати

 
є мероморфними на всій комплексній площині
  • Функції   і дзета-функція Рімана є мероморфними функціями на всій комплексній площині із скінченною кількістю особливих точок. Функція   і гамма-функція є мероморфними на всій комплексній площині із нескінченною множиною полюсів.
  • Функція   визначена на всій комплексній площині за винятком точки 0. Проте 0 не є полюсом цієї функції і вона не є мероморфною на всій комплексній площині. Звичайно вона є навіть голоморфною у області  .
  • Логарифмічна функція   не є мероморфною на всій комплексній площині, оскільки її неможливо однозначно визначити на всій комплексній площині за винятком деякої множини ізольованих точок.
  • Функція   не є мероморфною на всій комплексній площині, оскільки точка   є граничною точкою полюсів функції. Функція   теж не є мероморфною оскільки її особлива точка   не є полюсом.
  • Важливим класом мероморфних функцій є еліптичні функції.

Мероморфні функції на Ріманових поверхняхРедагувати

Зважаючи на те, що кожна точка ріманової поверхні має окіл, який є гомеоморфним деякій відкритій підмножині комплексної площини, то поняття мероморфної функції є визначеним і на ріманових поверхнях.

На некомпактних ріманових поверхнях мероморфні функції теж є полем часток кільця голоморфних функцій. Для сфери Рімана множина мероморфних функцій рівна множині раціональних функцій. Вона, зрозуміло, не є полем часток голоморфних функцій на сфері Рімана, оскільки всі голоморфні функції є константами.

Будь-яка мероморфна функція   задає неперервне відображення   області   у сферу Рімана  , яке є голоморфним відображенням відносно стандартної комплексної структури  .

Навпаки, довільне голоморфне відображення  , задає мероморфну функцію   на  . Множина полюсів   визначена як прообраз  , а для інших точок у   функція   задається рівністю  

ВластивостіРедагувати

  • Якщо задана дискретна підмножина   (скінченна або зліченна) області   і в кожній точці   — головна частина розкладу Лорана   тоді згідно теореми Міттаг-Лефлера існує мероморфна функція для якої множина   є множиною полюсів і в кожному полюсі   головна частина розкладу в ряд Лорана рівна   Теорема Міттаг-Лефлера справедлива також для некомпактних ріманових поверхонь. На компактній рімановій поверхні (наприклад, на торі) потрібні додаткові умови узгодження головних частин.
  • Пов'язаною є задача знаходжень мероморфних функцій з заданими разом з кратностями нулями і полюсами. Якщо задані дві дискретні підмножини   і   разом із відповідними множинами натуральних чисел   і   то існує мероморфна функція з нулями кратностей   в точках в   і полюсами кратностей   в точках   Дане твердження є наслідком теореми Вейєрштраса про цілі функції.

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати