Сфера Рімана — ріманова поверхня, природна структура на розширеній комплексній площині яка є комплексною проективною прямою Іншими словами це модель розширеної комплексної площини, де до звичайної комплексної площини додається точка на нескінченності. Відповідно до моделі Рімана, точка «∞» наближається до дуже великих чисел, так само як точка «0» є близькою до дуже малих чисел.

Сферу Рімана можна зобразити у вигляді площини комплексних чисел, яка обгорнута довкола сфери (як деяку форму стереографічної проекції – детально описаної нижче).

Як дійсний многовид дифеоморфна двовимірній сфері

КоординатиРедагувати

Числові координати на сфері Рімана вводяться трьома способами:

  • афінна комплексна координата z, яка приймає значення  ;
  • проективні комплексні координати  ;
  • тривимірні дійсні координати  , пов'язані рівнянням:
 .
 
Сфера Рімана стереографічної проекції переводиться на площину

Перехід від одних координат до інших задається формулами:

 
 
 

  задає відображення сфери з виколотим полюсом на комплексну площину, яке називається стереографічною проекцією.

Перетворення МебіусаРедагувати

Автоморфізмами сфери Рімана є перетворення Мебіуса. Нехай   — матриця із  . Її дія на сфері Рімана в термінах проективних комплексних координат — просто множення вектора-стовпця координат на матрицю. В афінних координатах дія виглядає так:

 

ДодатокРедагувати

Сфера Рімана відома в теоретичній фізиці.

В спеціальній теорії відносності сфера Рімана є моделлю небесної сфери. Перетворення Мебіуса пов'язані з перетвореннями Лоренца. Перетворення Мебіуса і Лоренца зв'язані також зі спінорами. В квантовій механіці сфера Рімана параметризує стани систем, описуваних 2-вимірним простором (див. q-біт), зокрема спіна масивних часток з спіном 1/2, таких як електрон. В цьому контексті сферу Рімана називають сферою Блоха і використовують на ній координати «широта-довгота» майже як на звичайній сфері, тільки широту   відраховують від полюса і ділять кут на 2, т. ч.   (див. мал.)

В такому випадку вірні співвідношення:

 
 

ПриміткиРедагувати