Перетворення Мебіуса

Перетворення на комплексній площині (сірим) та сфері Рімана (чорним)

Перетворення Мебіуса — комплексна раціональна функція виду

Частковий випадок дробово-лінійних функцій.

Зміст

ВластивостіРедагувати

Звідки слідує, що дробово-лінійні відображення утворюють групу відносно операції суперпозиції (група автоморфізмів сфери Рімана, також відома під назвою група Мебіуса).

Ця група є комплексно-трьохвимірною групою Лі.

Алгебраїчні властивостіРедагувати

...

Геометричні властивостіРедагувати

 

де

  1.   (зсув)
  2.   (інверсія та and відбиття відносно дійсної осі)
  3.   (поворот та розтягнення)
  4.   (зсув)
  • З цієї властивості слідує збереження кутів і кіл при дробово-лінійному відображенні, так як всі його складові є конформними. Маються на увазі кола на сфері Рімана, тобто до них крім звичайних кіл входять прямі.
  • Для довільних трьох точок   існує єдине дробово-лінійне відображення, що переводить їх в задані три точки  .Вонобуде мати вигляд:
 

Перетворення одиничного колаРедагувати

Перетворення Мебіуса є автоморфізмом одиничного кола   тоді і тільки тоді, коли   та   належать напівінтервалу  .

Для сфери Рімана, так і для одиничного кола дробово-лінійними функціями вичерпуються всі конформні автоморфізми. Автоморфізми одиничного кола утворюють дійсну-тривимірну підгрупу групи Мебіуса; кожний з яких виражається у вигляді:

 

ПрикладиРедагувати

Важливим прикладом дробово-лінійної функції є перетворення Келі:

 

Воно відображає верхню напівплощину в одиничне коло.

ЛітератураРедагувати

  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М: Наука, 1969. — 577 с.