Простір Лобачевського

однорідний простір із постійною від'ємною кривиною (не будь-який гіперболічний многовид)

Простір Лобачевського або гіперболічний простір, — це простір із постійною негативною кривиною. Двовимірним простором Лобачевського є площина Лобачевського.

Перспективна проєкція додекаедрального заповнення H3[en]. Чотири додекаедри дотикаються в кожному ребрі, а вісім дотикаються в кожній вершині, подібно кубам у кубічному заповненні E3

Від'ємна кривина відрізняє простір Лобачевського від евклідового простору з нульовою кривиною, описуваного евклідовою геометрією, і від сфери — простору з постійною додатною кривиною, описуваного геометрією Рімана.

n-вимірний простір Лобачевського зазвичай позначають або .

ВизначенняРедагувати

n-вимірним простором Лобачевського називають однозв'язний n-вимірний ріманів многовид із постійною від'ємною секційною кривиною.

Моделі гіперболічного просторуРедагувати

Простір Лобачевського, який незалежно досліджували Микола Іванович Лобачевський і Янош Бояї, є геометричним простором, аналогічним евклідовому простору, але в ньому аксіома паралельності Евкліда не виконується. Замість цього аксіома паралельності замінюється такою альтернативною аксіомою (в просторі розмірності два):

  • Якщо дано якусь пряму L і точку P, що не лежить на прямій L, то існує щонайменше дві різні прямі, що проходять через P, які не перетинають L.

Звідси випливає теорема, що існує нескінченно багато таких прямих, які проходять через P. Аксіома не визначає однозначно площину Лобачевського з точністю до руху, оскільки потрібно задати постійну кривину K < 0. Однак аксіома визначає площину з точністю до гомотетії, тобто з точністю до перетворень, які без повороту змінюють відстані на деякий постійний множник. Якщо можна вибрати відповідний масштаб довжини, то можна припустити без втрати загальності, що K = −1.

Можна побудувати моделі просторів Лобачевського, які можна вкласти в плоскі (тобто евклідові) простори. Зокрема, з існування моделі простору Лобачевського в евклідовому випливає, що аксіома паралельності логічно незалежна від інших аксіом евклідової геометрії.

Існує кілька важливих моделей простору Лобачевського — модель Кляйна, гіперболоїдна модель, модель Пуанкаре в кулі і модель Пуанкаре у верхній півплощині. Всі ці моделі мають одну і ту ж геометрію в тому сенсі, що будь-які дві з них пов'язані перетворенням, яке зберігає всі геометричні властивості описуваного ними гіперболічного простору.

Гіперболоїдна модельРедагувати

Гіперболоїдна модель реалізує простір Лобачевського як гіперболоїд у  . Гіперболоїд є геометричним місцем   точок, координати яких задовольняють рівнянню

 

У цій моделі пряма (тобто, по суті, геодезична) — це крива, утворена перетином   з площиною, що проходить через початок координат у  .

Гіперболоїдна модель тісно пов'язана з геометрією простору Мінковського. Квадратична форма

 

яка визначає гіперболоїд, дозволяє задати відповідну білінійну форму

 

Простір  , забезпечений білінійною формою B, є (n+1)-вимірним простором Мінковського  .

Можна задати «відстань» на гіперболоїдній моделі, визначивши[1] відстань між двома точками x і y на   як

 

Ця функція є метрикою, оскільки для неї виконуються аксіоми метричного простору. Вона зберігається під дією ортохронної групи Лоренца O+(n,1) на  . Отже, ортохронна група Лоренца діє на   як група автоморфізмів, що зберігають відстань, тобто рухів.

Модель КляйнаРедагувати

Альтернативною моделлю геометрії Лобачевського є певна область у проєктивному просторі. Квадратична форма Мінковського Q визначає підмножину  , задану як множина точок, для яких   в однорідних координатах x. Область   є моделлю Кляйна простору Лобачевського.

Прямими в цій моделі є відкриті відрізки об'ємного проєктивного простору, які лежать в  . Відстань між двома точками x і y в   визначається як

 

Ця відстань цілком визначена на проєктивному просторі, оскільки число   не змінюється при зміні всіх координат на один і той самий множник (з точністю до якого й визначено однорідні координати).

Ця модель пов'язана з гіперболоїдною моделлю так. Кожна точка   відповідає прямій   через початок координат в   за визначенням проєктивного простору. Ця пряма перетинає гіперболоїд   в єдиній точці. І навпаки: через будь-яку точку на   проходить єдина пряма, що проходить через початок координат (що є точкою в проективному просторі). Ця відповідність визначає бієкцію між   і  . Це ізометрія, оскільки обчислення d(x,y) уздовж   відтворює визначення відстані в гіперболоїдній моделі.

Модель Пуанкаре в куліРедагувати

Є дві тісно пов'язані моделі геометрії Лобачевського в евклідовій: модель Пуанкаре в кулі і модель Пуанкаре у верхній півплощині.

Модель кулі виникає зі стереографічної проєкції гіперболоїда в   у гіперплощину  . Детальніше: нехай S буде точкою в   з координатами (-1,0,0,…,0) — південним полюсом для стереографічної проєкції. Для кожної точки P на гіперболоїді   нехай P буде єдиною точкою перетинів прямої SP із площиною  .

Це встановлює бієктивне відображення   в одиничну кулю

 

в площині {x0 = 0}.

Геодезичні в цій моделі є півколами, перпендикулярними до межі сфери  . Ізометрії кулі утворюються сферичними інверсіями відносно гіперсфер, перпендикулярних межі.

Модель Пуанкаре у верхній півплощиніРедагувати

Модель верхньої півплощини виходить з моделі Пуанкаре в кулі при застосуванні інверсія з центром на межі моделі Пуанкаре   (див. вище) і радіусом, рівним подвоєному радіусу моделі.

Це перетворення відображає кола в кола і прямі (в останньому випадку — якщо коло проходить через центр інверсії) — і, більш того, це конформне відображення. Отже, в моделі верхньої півплощини геодезичними є прямі і (пів)кола, перпендикулярні до межі гіперплощини.

Гіперболічні многовидиРедагувати

Будь-який повний, зв'язний, однозв'язний многовид сталої від'ємної кривини −1 ізометричний простору Лобачевського  . Як наслідок, універсальним накриттям будь-якого замкнутого многовиду M сталої від'ємної кривини −1, тобто гіперболічного многовиду[en], є  . Тоді будь-який такий многовид M можна записати як  , де   є дискретною групою ізометрій без крутіння на  . Тобто   є ґраткою в SO+(n,1).

Ріманові поверхніРедагувати

Докладніше: Ріманова поверхня

Двовимірні гіперболічні поверхні можна також розуміти як ріманові поверхні. Згідно з теоремою про уніформізацію будь-яка ріманова поверхня є еліптичною, параболічною або гіперболічною. Більшість гіперболічних поверхонь мають нетривіальну фундаментальну групу  . Групи, які виникають таким чином, називаються фуксовими. Фактор-простір   верхньої півплощини у фундаментальній групі називають фуксовою моделлю гіперболічної поверхні. Верхня півплощина Пуанкаре також гіперболічна, але однозв'язна і не компактна. Тому вона є універсальним накриттям інших гіперболічних поверхонь.

Аналогічною побудовою Для тривимірних гіперболічних поверхонь є модель Кляйна.

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Цей вираз нагадує хордальну метрику на сфері, в якій вираз аналогічний, але замість гіперболічних функцій використовуються тригонометричні.

ЛітератураРедагувати