Проєктивний простір

У математиці проєктивним простором називають множину елементами якої є прямі (одновимірні підпростори) деякого лінійного простору. Розділ математики, що вивчає проєктивні простори — проєктивна геометрія. Окрім того проєктивні простори застосовуються в алгебричній геометрії, теорії еліптичних кривих, топології, комп'ютерній графіці.

Визначення

Прямі евклідова простору, що проходять через початок координат, можна уявити точками проєктивної площини

Нехай $V_{K}^{n+1}$ — деякий векторний простір розмірності $n+1$ над тілом $K$. Тоді проєктивним простором $P_{K}^{n}$ розмірності $n$ над тілом $K$ називається множина класів еквівалентності $(V_{K}^{n+1}-\{0\})/$~ де відношення еквівалентності ~ задається так: два ненульові елементи $v_{1},v_{2}\in V_{K}^{n+1}$ є еквівалентними тоді й тільки тоді, коли існує $k\in K$, таке що $v_{1}=kv_{2}$. Іншими словами, два елементи векторного простору є еквівалентними, якщо вони належать одному підпростору розмірності 1 (або, менш формально, лежать на одній прямій). Класи еквівалентності називаються точками проєктивного простору.

У простішому нетривіальному випадку $P_{R}^{2}$ визначається як множина прямих тривимірного евклідового простору, що проходять через початок координат, у цих термінах пряма $R^{3}$ є точкою $P^{2}$. З топологічної точки зору — це сфера $S^{2}$, в якої ототожнено протилежні точки (або напівсфера, в якої ототожнено протилежні точки граничного кола).

Однорідні координати

У проєктивному просторі $P_{K}^{n}$ можна задати координати. Нехай $x\in P_{K}^{n}$ — деяка точка проєктивного простору. За визначенням вона є класом еквівалентності елементів векторного простору $V_{K}^{n+1}$ (або класом еквівалентності точок відповідного афінного простору). Тоді координати $(x_{0},x_{1},...,x_{n})$ якогось із представників цього класу можна прийняти як координати відповідної точки проєктивного простору. З визначень виходить, що координати $(x_{0},x_{1},...,x_{n})$ і $kx_{0},kx_{1},...,kx_{n}$ (де $k\in K,\quad k\neq 0$) визначають одну точку проєктивного простору. Якщо остання координата не рівна нулю, координатний запис, як правило, унормовують так, щоб вона була рівна одиниці.

Афінні та проєктивні простори

Всі точки проєктивного простору можна поділити на дві множини в залежності від того, чи рівна остання координата нулю, чи ні. Якщо вона не рівна нулю то, як правило використовується такий координатний запис за якого вона рівна одиниці. Тоді можна задати природне вкладення афінного простору $A_{K}^{n}$ в проєктивний простір $P_{K}^{n}$ визначене ін'єкцією:

$(x_{1},x_{2},...,x_{n})\mapsto [x_{1},x_{2},...,x_{n},1]$

Точки, що не мають прообразу при цьому відображенні (тобто точки вигляду $[y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n},0]$) називаються «точками в нескінченності». Вони є $n-1$- вимірним проєктивним підпростором простору $P_{K}^{n}$. Через таке вкладення багато об'єктів афінних просторів мають свої відповідники у проєктивному просторі. Наприклад у випадку афінної і проєктивної площин прямій:

$ax+by+c=0\,$

відповідає пряма:

$aX+bY+cZ=0\,$.

Підставивши $Z=1$ в це рівняння легко переконатися, що для всіх точок, що лежать на прямій в афінному випадку, відповідні точки лежать на прямій у проєктивному випадку. Крім того, у проєктивному випадку даній прямій належить «точка в нескінченності» з координатами $[-b,a,0]$. В загальному випадку гіперплощині:

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}+a_{n+1}=0\,$

в афінному просторі відповідає:

$a_{1}X_{1}+a_{2}X_{2}+...+a_{n}X_{n}+a_{n+1}X_{n+1}=0\,$

у проєктивному просторі.

Многочлену $P(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ степеня $d$ відповідає однорідний многочлен $P[X_{1},X_{2},...,X_{n},X_{n+1}]=X_{n+1}^{d}p\left({\frac {X_{1}}{X_{n+1}}},{\frac {X_{2}}{X_{n+1}}},...,{\frac {X_{n}}{X_{n+1}}}\right)$.

На відміну від афінних просторів, у проєктивному просторі гіперплощини розмірності $n$ заважди перетинаються і перетином є проєктивний підпростір розмірності $n-1$. Наприклад, якщо дві прямі $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0$ і $a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0$ на афінній площині перетинаються в точці $(x_{0},y_{0})$ то прямі $a_{1}X+b_{1}Y+c_{1}Z=0$ і $a_{2}X+b_{2}Y+c_{2}Z=0$ на проєктивній площині перетинаються в точці $[x_{0},y_{0},1]$. Якщо ж ці прямі паралельні то проєктивні прямі перетинаються в точці $[-b_{1},a_{1},0]$ (або $[-b_{2},a_{2},0]$ оскільки у випадку паралельних прямих ці координати позначають одну і ту ж точку). Окрім того, на відміну від афінного простору, проєктивний простір є компактним.

Ці та інші властивості роблять проєктивні простори зручнішими ніж афінні у багатьох галузях математичних досліджень, зокрема в алгебричній геометрії, теорії еліптичних кривих та ін.

Аксіоматика проєктивних просторів

Для деякої множини $P$ (множини точок) і множини $L$ підмножин з $P$ (множини прямих) проєктивний простір також можна визначити за допомогою таких аксіом:

Площина Фано — приклад скінченного проєктивного простору

1. Для довільних точок $p$ і $q$ існує єдина пряма якій належать обидві ці точки.
2. Довільна пряма містить не менше трьох точок.
3. Якщо $a$,$b$,$c$,$d$ — різні точки і прямі $ab$ і $cd$ перетинаються, то перетинаються також прямі $ac$ і $bd$.

Для визначених у такий спосіб об'єктів можна визначити розмірність. Якщо $P$ складається з однієї точки то розмірність такого простору рівна 0. Якщо всі точки містяться на одній прямій — розмірність рівна 1. Якщо є більше однієї прямої і всі прямі перетинаються — розмірність рівна 2. В інших випадках розмірність більша ніж 2.

Згідно з теоремою Веблена — Юнга, це означення еквівалентне поданим вище для всіх розмірностей окрім розмірності 2, коли всі прямі перетинаються. У випадку розмірності 2 існують об'єкти — недезаргові площини, які не можна визначити через векторні простори над деяким тілом.

Див. також

• Проєктивно розширена числова пряма
• Комплексна проєктивна площина

Посилання

• Проективний простір [Архівовано 16 липня 2010 у Wayback Machine.] на сайті PlanetMath

Джерела

• Бурбакі Н. Загальна топологія: Топологічні групи. Числа і пов'язані з ними групи і простори. — М. : Наука, 1969. — С. 392. — (Елементи математики)(рос.)
• Артин Э. Геометрическая алгебра // Перевод с английского В. М. Котлова. Под редакцией Л. А. Калужнина. — М.: Наука, 1969. — 283 с. (рос.)
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1986. — 760 с. (рос.)
• Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии. — М.: Мир, 1970. — 160 с. (рос.)
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009. — 512 с. — ISBN 978-5-9221-1139-3. (рос.)
• Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия: Учеб. пособие. — М.: Наука, 1990. — 672 с. — ISBN 5-02-014336-7. (рос.)
• Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия // Перевод с английского. — 2-е изд. — М: УРСС, 2004. — 400 с. — ISBN 5-354-00922-7. (рос.)
• Beutelspacher Albrecht Rosenbaum, Ute (1998), Projective geometry: from foundations to applications, Cambridge University Press, MR1629468, ISBN 978-0-521-48277-6; 978-0-521-48364-3. (англ.)
• Casse, Rey Projective Geometry: An Introduction,
• Coxeter, Harold Scott MacDonald (1974), Projective geometry, Toronto, Ont.: University of Toronto Press, MR0346652, OCLC 977732
• Dembowski, P. (1968), Finite geometries, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR0233275
• Greenberg, M.J.; Euclidean and non-Euclidean geometries, 2nd ed. Freeman (1980).
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR0463157, ISBN 978-0-387-90244-9 Oxford University Press, ISBN 0-19-929885-8
• Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S.; Geometry and the imagination, 2nd ed. Chelsea (1999).