Інверсія (геометрія)

Інверсія (від лат. inversio «звернення») відносно кола — перетворення евклідової площини, що переводить узагальнені кола (кола або прямі) в узагальнені кола, при якому одне з кіл поточково переводиться в себе.

Кардіоїда — інверсія параболи

Визначення

Інверсія

Нехай на евклідовій площині задано деяке коло $\Gamma$ з центром $O$ (що називається полюсом або центром інверсії, ця точка виколота) і радіусом $R$. Інверсія точки $P$ щодо $\Gamma$ є точка $P'$, що лежить на промені $OP$ така, що

$|OP'|\cdot |OP|=R^{2}.$

Інверсія переводить внутрішню область кола у зовнішню, і назад.

Часто до площини додають «нескінченно віддалену точку» $\infty$ і вважають її інверсним образом $O$, а $O$ — інверсним образом $\infty$. У цьому випадку інверсія є бієктивним перетворенням цієї розширеної «колової площини».

Аналогічно визначається інверсія евклідового простору щодо сфери та інверсія в евклідових просторах більш високих розмірностей.

Властивості

Образ центру кола не є центром образу

Інверсія відносно кола $\Gamma$ з центром O має такі основні властивості:

• Інверсія є інволюцією: якщо точка P переходить у точку Q, то і точка Q переходить у точку P.
• Пряма, що проходить через O, переходить у себе.
• Пряма, що не проходить через O, переходить у коло, що проходить через O з виколотою точкою O; і навпаки, коло, що проходить через O, переходить у пряму, яка не проходить через O.
• Коло, яке не проходить через O, переходить у коло, яке не проходить через O (при цьому образ його центру не є центром образу).
• Інверсія є конформним відображенням другого роду (тобто вона зберігає кути між кривими і змінює орієнтацію).
• Коло або пряма, перпендикулярна до $\Gamma$, переходить у себе.

Побудова

Побудова образу точки при інверсії щодо кола

Отримати образ P' точки P при інверсії відносно даного кола з центром O можна таким чином:

• Якщо відстань від P до O більша, ніж радіус кола — провести з P дотичну до кола, тоді перпендикуляр до прямої OP з точки дотику перетне цю пряму в шуканій точці P'
• Якщо відстань від P до O менша, ніж радіус кола — провести через P перпендикуляр до OP, а через точку його перетину з колом — дотичну до нього, яка перетне OP в шуканій точці P'
• Якщо відстань від P до O дорівнює радіусу кола, образ P збіжиться з нею самою.

Координатні подання

Декартові координати

Інверсія відносно одиничного кола з центром у початку координат задається співвідношенням

$(x,y)\mapsto \left({\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\right)$.

Якщо точку площини задати однієї комплексною координатою $z=x+iy$, то цей вираз можна подати у вигляді

$z\mapsto ({\bar {z}})^{-1}$,

де ${\bar {z}}$ — комплексно спряжене число для $z$. Дана функція комплексної змінної є антиголоморфною, звідки, зокрема, слідує конформність інверсії.

У загальному випадку інверсія щодо кола з центром у точці $O=(x_{0},y_{0})$ і радіусом $r$ задається співвідношенням

$(x,y)\mapsto \left(x_{0}+{\frac {r^{2}(x-x_{0})}{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}},y_{0}+{\frac {r^{2}(y-y_{0})}{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\right)$.

Полярні координати

Інверсія відносно кола радіусом $r$ з центром у початку координат задається співвідношенням

$(\phi ,\rho )\mapsto (\phi ,r^{2}/\rho )$.

Застосування

• Застосуванням інверсії розв'язується задача Аполлонія.
• На властивості інверсії ґрунтується механізм Ліпкіна — Посельє.
• Застосуванням інверсії доводиться теорема Мора — Маскероні, яка стверджує, що всі побудови, які можна зробити за допомогою циркуля і лінійки можна зробити за допомогою циркуля (пряма вважається побудованою, якщо відомі дві її точки)

Варіації та узагальнення

Інверсія відносно конічного перерізу

Можна визначити інверсію щодо довільного невиродженого конічного перетину, з тією лише різницею, що величина $R$ буде (змінною) відстанню від центра $O$ відповідної кривої (у випадку еліпса і гіперболи) до точок перетину цієї кривої з прямою $OP$.

У разі інверсії відносно гіперболи, залежно від сектора, в якому знаходиться точка $P$ між асимптотами, можливий випадок, коли пряма $OP$ не перетинається з гіперболою. Тоді для обчислення $R$ береться точка перетину цієї прямої зі спряженою гіперболою (якщо тільки точка $P$ не лежить на асимптоті), а відповідна величина $R^{2}$ береться зі знаком мінус, тобто промінь $OP'$ спрямовується в бік, протилежний до променя $OP$.

Інверсія відносно параболи — це просто симетричне відображення відносно неї вздовж прямої, паралельної осі параболи.

Альтернативне визначення — інверсія відносно конічного перерізу ${\mathcal {K}}$ як середина хорди, що відтинається полярою точки $P$ відносно ${\mathcal {K}}$ на ${\mathcal {K}}$. Однак у випадку, коли відповідна поляра не перетинає ${\mathcal {K}}$для повноти визначення доводиться застосовувати це, часткове, визначення у "зворотному напрямку" ($P'$ — це така точка, що $P$ є серединою хорди, яку відтинає поляра $P'$ на ${\mathcal {K}}$), що не завжди зручно.

Див. також

• Інверсія кривої

Посилання

• Ануфриенко С. А. Симметрия относительно окружности [Архівовано 1 вересня 2019 у Wayback Machine.].
• Бакельман И. Я. Инверсия [Архівовано 23 жовтня 2019 у Wayback Machine.]. Популярные лекции по математике, Вып. 44, М., Наука, 1966.
• Жижилкин И. Д. Инверсия.. — М. : МЦНМО, 2009.
• Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?. — М. : МЦМО, 2000. — С. Гл. III, § 4.. — ISBN 5–900916–45–6.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)