У геометрії, полюс і поляра є відповідно точка та пряма, які перебувають в унікальному відношенні відносно певного конічного перетину.

Поляра q до точки Q відносно кола радіуса r з центром у точці O. Точка P є точкою інверсії до Q; поляра — це пряма, яка проходить через P і перпендикулярна до прямої, яка проходить через O, P і Q.

Для певного кола, взаємність у колі означає перетворення кожної точки на площині у її поляру та кожної прямої на площині у її полюс.

ХарактеристикиРедагувати

Полюси та поляри мають декілька корисних характеристик:

  • Якщо точка P лежить на прямій l, тоді полюс L прямої l лежить на полярі p точки P.
  • Якщо точка P рухається вздовж прямої l, її поляра p обертається навколо полюса L прямої l.
  • Якщо з полюса до конічного перетину можна провести дві дотичні прямі, тоді його поляра проходить через обидві точки дотику.
  • Якщо точка лежить на конічному перетині, її поляра є дотичною в цій точці до конічного перетину.
  • Якщо точка P лежить на власній полярі, то P розташована на конічному перетині.
  • Кожна лінія має, відносно невиродженого конічного перетину, лише один полюс.

Окремі випадки кілРедагувати

Полюсом прямої L у колі C є точка P, яка є інверсією у колі C точки Q на L, яка найближча до центру кола. І навпаки, полярна лінія (або поляра) точки P відносно кола C є лінією L, такою, що її найближча до центра кола точка Q є інверсією точки P у C.

 
Якщо точка A лежить на полярі q іншої точки Q, тоді Q лежить на полярі a точки A. Більш загально, поляри всіх точок на лінії q повинні проходити через її полюс Q.

Відношення між полярами і полюсами є взаємними. Тобто, якщо точка A лежить на полярі q іншої точки Q, тоді Q повинна лежати на полярі a точки A. Дві полярні лінії a і q не обов'язково є паралельними.

Є інший опис полярної лінії точки P у випадку, коли вона лежить за межами кола C. У цьому випадку, через P проходять дві прямі, які є дотичними до кола, і поляра точки P є лінією, що проходить через дві точки дотику. Це показує, що поляра та полюс є концепціями площини у проєктивній геометрії і узагальнюються на будь-який несингулярний конічний перетин замість кола C.

Взаємність і проєктивна дуальністьРедагувати

 
Ілюстрація дуальності між точками та лініями, та подвійного значення «інцидентність». Якщо дві лінії a і k проходять через одну точку Q, тоді поляра q точки Q з'єднує полюси A і K ліній a і k, відповідно.

Концепції полюса та його полярної лінії отримали розвиток у проєктивній геометрії. Наприклад, полярна лінія може розглядатись як набір проєктивних гармонійних сполучених точок для заданої точки (полюса) відносно конічного перетину. Операція заміни кожної точки її полярною лінією і навпаки відома як полярність.

Полярність — це кореляція, яка також є інволюцією.

Загальні конічні перетиниРедагувати

 
Лінія p є полярою для точки P, l до L і m до M
 
p є полярною лінією до точки P ; m є полярною лінією до M

Концепції полюса, поляри і взаємність можна узагальнити з кіл на інші конічні перетини: еліпс, гіперболу й параболу. Це узагальнення можливе, оскільки конічні перетини є результатом взаємності кола в іншому колі, а пов'язані характеристики, такі як інцидентність та подвійне відношення, зберігаються за всіх проєктивних перетворень.

Розрахунок поляри до точкиРедагувати

Конічний перетин можна задати як рівняння другого ступеня у декартовій системі координат (x, y) площини

 

де Axx, Axy, Ayy, Bx, By і C є сталими, які визначають рівняння. Для такого конічного перетину, полярна лінія до заданої точки (полюса) (ξ, η) визначається рівнянням

 

де D, E і F така само є сталими, які залежать від координат полюса (ξ, η)

 

Розрахунок полюса прямоїРедагувати

Полюс прямої  , відносно невиродженого конічного перетину

 

можна розрахувати за два кроки.

Спочатку розраховуються числа x, y і z з

 

Тоді полюс — це точка з координатами  

ЗастосуванняРедагувати

Полюси та поляри визначив Ж. Жергонн[en] та використав для розв'язання задачі Аполлонія.[1]

У площинній динаміці полюс є центром обертання, поляра — лінією дії сили, а конічний перетин є матрицею маса-інерція.[2] Це відношення полюс-поляра використовується для визначення центру удару[en] плоского твердого тіла. Якщо полюс є центром обертання, тоді поляра є лінією удару як описано в площинному гвинтовому численні.

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати

ПриміткиРедагувати

ПосиланняРедагувати