Гармонійна четвірка

Гармонійна четвірка точок — четвірка точок на проєктивній прямій, подвійне відношення яких . В цьому випадку кажуть також, що точки і гармонійно поєднані відносно і пишуть .

Приклад гармонійної четвірки точок A, B, C і D.

Гармонійна четвірка прямих — четвірка прямих у проєктивній площині, що проходять через одну точку , для яких будь-яка четвірка точок , така, що , що знаходяться на одній прямій, є гармонійною. В цьому випадку пишуть .

ВластивостіРедагувати

  • Якщо гармонійну четвірку прямих перетинає пряма, то на цій прямій утворюється гармонійна четвірка точок.
  • На кожній стороні повного чотиривершинника є гармонійна четвірка точок.
  • На кожній діагоналі повного чотиривершинника є гармонійна четвірка точок.

ПобудоваРедагувати

 
A, B, C, D — гармонійна четвірка точок.

Для будь-яких трьох точок, що лежать на одній прямій, користуючись гармонійними властивостями повного четиривершинника, можна побудувати четверту точку так, що вийде гармонійна четвірка точок. А саме, точки перетину поротилежних сторін повного чотиривершинника і точки перетину діагоналей з прямою, що проходить через ці точки, утворюють гармонійну четвірку точок.

Гармонійна четвірка на розширеній евклідовій площиніРедагувати

  • Якщо точка   невласна, то четвірка   є гармонійною, якщо   — середина відрізка  .
  • Якщо   — повний чотиривершинник і його діагональні точки   — невласні, то на розширеній евклідовій площині   — паралелограм, а з його гармонійних властивостей випливає, що точка перетину його діагоналей ділить їх навпіл.
  • Якщо   — повний чотиривершинник, у якого одна діагональна точка   — невласна,  , то на розширеній евклідовій площині   — трапеція, а з його гармонійних властивостей випливає, що   ділить   навпіл.

ЛітератураРедагувати

  • Базылев, Дуничев, Иваницкая. Геометрия, часть 2. — М. : Просвещение, 1975.
  • Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — 6-е изд.. — М., 1978.
  • Певзнер С.Л. Проективная геометрия. — М. : Просвещение, 1980.
  • Постников М. М. Аналитическая геометрия. — 1973.
  • Х. С. М. Кокстер. Действительная проективная плоскость / под ред. проф. А. А. Глаголева — М., 1959.