Антиголоморфна функція

Антиголоморфна функція (також антианалітична) — комплексна функція, тісно пов'язана з голоморфною функцією.

Визначення

Функція $f$, визначена на відкритій підмножині $D$ комплексної площини, називається антиголоморфною, якщо її похідна ${\frac {df}{d{\bar {z}}}}$ по ${\bar {z}}$ (де рискою позначається комплексне спряження)існує в усіх точках цієї множини. Визначення можна також записати аналогічно до умов Коші — Рімана:

${\frac {\partial u}{\partial x}}=-{\frac {\partial v}{\partial y}}$

${\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {\partial v}{\partial x}}$

де

$f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y),\quad z=x+iy,\quad \{x,y,u,v\}\subset \mathbb {R}$

Властивості

• $f(z)$ голоморфна в $D$ тоді і тільки тоді, коли $f({\bar {z}})$ антиголоморфна в ${\bar {D}}=\{{\bar {z}}|z\in D\}$.
• Функція є антиголоморфною тоді і тільки тоді, коли її можна розкласти за ступенями ${\bar {z}}$ у околі кожної точки її області визначення.
• $f(z)$ голоморфна в $D$ тоді і тільки тоді, коли ${\bar {f}}(z)$ антиголоморфна в $D$.
• якщо функція одночасно голоморфна і антиголоморфна, то вона є константою на будь-якій зв'язаній компоненті її області визначення.

Приклад

Функція $\displaystyle z\mapsto {\frac {1}{\overline {z}}}$ є антиголоморфною в $\mathbb {C} \!\smallsetminus \!\{0\}$. Легко перевірити умови голоморфності:

$f(z)\,=\,{\frac {z}{|z|^{2}}}\,=\,\underbrace {\frac {x}{x^{2}+y^{2}}} _{u}+i\underbrace {\frac {y}{x^{2}+y^{2}}} _{v},$

${\frac {\partial u}{\partial x}}\;=\;{\frac {y^{2}\!-\!x^{2}}{(x^{2}\!+\!y^{2})^{2}}},\quad {\frac {\partial v}{\partial y}}\;=\;{\frac {x^{2}\!-\!y^{2}}{(x^{2}\!+\!y^{2})^{2}}},\quad {\frac {\partial u}{\partial y}}\;=\;-{\frac {2xy}{(x^{2}\!+\!y^{2})^{2}}},\quad {\frac {\partial v}{\partial x}}\;=\;-{\frac {2xy}{(x^{2}\!+\!y^{2})^{2}}}.$

Зрозуміло, що антиголоморфність відразу випливає з того, що дана функція є комплексно спряженою до функції $\displaystyle z\mapsto {\frac {1}{z}}$, що є голоморфною у множині $\mathbb {C} \!\smallsetminus \!\{0\}$.

Див. також

• Голоморфна функція

Посилання

• Антиголоморфна функція [Архівовано 7 березня 2016 у Wayback Machine.] на сайті PlanetMath. (англ.)