Відкрити головне меню

Умови Коші — Рімана, або умови Д'Аламбера — Ейлера — умови на дійсну u = u(x, y) та уявну v = v(x, y) частини функції комплексної змінної w=f(z)=u+iv, z=x+iy, що забезпечують нескінченну безперервну диференційовність f(z) як функції комплексної змінної.

Зміст

ТеоремаРедагувати

Для того, щоб функція w = f(z), визначена в деякій області D комплексної площини, була диференційовна в точці z0 = x0 + iy0 як функція комплексної змінної z, необхідно і достатньо, щоб її дійсна і уявна частини u і v були диференційовними в точці (x0,y0) як функції дійсних змінних x і у і щоб, крім того, в цій точці виконувалися умови Коші — Рімана:

В декартових координатахРедагувати

 ;
 ;

В полярних координатахРедагувати

 ;
 

Якщо умови Коші — Рімана виконані, то похідна f'(z) може бути подана в будь-якій з наступних форм:

 

НаслідкиРедагувати

Простий прикладРедагувати

Припустимо, що z = x + iy. Комплекснозначима функція f(z) = z2 диференційовна в кожній точці z комплексної площини.

 

Дійсна частина u(x, y) і уявна частина v(x, y) of f(z):

 
 

відповідно. Їхні частинні похідні

 
 
 
 .

Ці частинні похідні співвідносяться таким чином:

 
 .

Отже комплекснозначима функція f(z) зодовольняє умові Коші — Рімана.

ІсторіяРедагувати

Ці умови вперше з'явилися в роботі д'Аламбера (1752 р.). У роботі Ейлера у 1777 р., умови одержали вперше характер загальної ознаки аналітичної функцій. Коші користувався цими співвідношеннями для побудови теорії функцій, починаючи з мемуару, представленого Паризькій академії наук в 1814 р. Знаменита дисертація Рімана про основи теорії функцій відноситься до 1851 р.