Площина Мебіуса

Площина Мебіуса (також колова площина і інверсна площина) — площина, описувана системою аксіом ідентичності, в якій основну роль відіграють точки і так звані узагальнені кола.

Прикладом колової площини є евклідова площина, доповнена однією ідеальною точкою ($\infty$). Узагальненими колами є звичайні кола, а також звичайні прямі, доповнені точкою $\infty$, відношення інцидентності — відношення належності.

Колова площина: аксіоми (A1), (A2)

Визначення

Колова площина це структура інцидентності ${\mathfrak {M}}=(P,Z,\in )$, де $P$ — множина точок, $Z$ — множина узагальнених кіл і $\in$ — симетричне відношення інцидентності між $P$ і $Z$, яка задовольняє таким аксіомам:

A1: Для будь-яких трьох точок $A,B,C$ існує рівно одне узагальнене коло $z$, яке інцидентне $A,B,C$.

A2: Для будь-якого узагальненого кола $z$, будь-яких точок $P\in z$ і $Q\notin z$ існує рівно одне узагальнене коло $z'$, таке, що: $P,Q\in z$ і $z\cap z'=\{P\}$ (тобто, $z$ і $z'$ дотикаються одне з одним у точці $P$).

А3: Будь-яке узагальнене коло інцидентне принаймні трьом точкам. Існує щонайменше чотири різні точки, які не інцидентні одному колу.

Див. також

• Інверсія (геометрія)
• Сфера Рімана

Посилання

• EF Assmus Jr and JD Key, Designs and their codes, Cambridge University Press, ISBN 0-521-45839-0. с. 309—312.
• P. Dembowski, Finite geometries, Springer Verlag, 1968, repr.1996, ISBN 3540617868.
• DR Hughes and FC Piper, Design theory, Cambridge University Press, ISBN 0-521-35872-8. с. 133—136.
• И. М. Виноградов. Мёбиуса плоскость // Математическая энциклопедия. — М. : Советская энциклопедия, 1977—1985. — стаття з математичної енциклопедії. В. В. Афанасьєв.
• Möbius plane [Архівовано 24 жовтня 2018 у Wayback Machine.] — стаття з Encyclopaedia of Mathematics.