Еліптичні інтеграли
В інтегральному численні еліпти́чний інтегра́л з'явився у зв'язку із завданням обчислення довжини дуги еліпса і був вперше досліджений Джуліо Фаніано і Леонардом Ейлером.
Еліптичні інтеграли | |
Підтримується Вікіпроєктом | Вікіпедія:Проєкт:Математика |
---|---|
Еліптичні інтеграли у Вікісховищі |
Еліптичні інтеграли є оберненими функціями до еліптичних функцій Якобі. З історичної точки зору спочатку були відкриті еліптичні інтеграли.
Визначення
ред.Еліптичні інтеграли — це інтеграли виду
та
де — деяка раціональна функція, у випадку, коли ці інтеграли не виражаються через елементарні функції а — деяка стала. У результаті ряду перетворень можна кожен з таких інтегралів звести до елементарних функцій і до еліптичних інтегралів першого, другого та третього роду, відповідно:
Якщо зробити підстановку , одержимо запис еліптичних інтегралів у лежандровій формі:
Величина називається амплітудою, стала — модулем еліптичного інтегралу, а — параметром.
SEM-001
Еліптичні інтеграли першого роду
ред.
Еліптичні інтеграли першого роду | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0° | 10° | 20° | 30° | 40° | 50° | 60° | 70° | 80° | 90° | |
0° | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 |
10 | 0.1745 | 0.1746 | 0.1746 | 0.1748 | 0.1749 | 0.1751 | 0.1752 | 0.1753 | 0.1754 | 0.1754 |
20 | 0.3491 | 0.3493 | 0.3499 | 0.3508 | 0.3520 | 0.3533 | 0.3545 | 0.3555 | 0.3561 | 0.3564 |
30 | 0.5236 | 0.5243 | 0.5263 | 0.5294 | 0.5334 | 0.5379 | 0.5422 | 0.5459 | 0.5484 | 0.5493 |
40 | 0.6981 | 0.6997 | 0.7043 | 0.7116 | 0.7213 | 0.7323 | 0.7436 | 0.7535 | 0.7604 | 0.7629 |
50 | 0.8727 | 0.8756 | 0.8842 | 0.8982 | 0.9173 | 0.9401 | 0.9647 | 0.9876 | 1.0044 | 1.0107 |
60 | 1.0472 | 1.0519 | 1.0660 | 1.0896 | 1.1226 | 1.1643 | 1.2126 | 1.2619 | 1.3014 | 1.3170 |
70 | 1.2217 | 1.2286 | 1.2495 | 1.2853 | 1.3372 | 1.4068 | 1.4944 | 1.5959 | 1.6918 | 1.7354 |
80 | 1.3963 | 1.4056 | 1.4344 | 1.4846 | 1.5597 | 1.6660 | 1.8125 | 2.0119 | 2.2653 | 2.4362 |
90 | 1.5708 | 1.5828 | 1.6200 | 1.6858 | 1.7868 | 1.9356 | 2.1565 | 2.5046 | 3.1534 |
Еліптичні інтеграли другого роду
ред.
Еліптичні інтеграли другого роду | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0° | 10° | 20° | 30° | 40° | 50° | 60° | 70° | 80° | 90° | |
0° | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 |
10 | 0.1745 | 0.1745 | 0.1744 | 0.1743 | 0.1742 | 0.1740 | 0.1739 | 0.1738 | 0.1737 | 0.1736 |
20 | 0.3491 | 0.3489 | 0.3483 | 0.3473 | 0.3462 | 0.3450 | 0.3438 | 0.3429 | 0.3422 | 0.3420 |
30 | 0.5236 | 0.5229 | 0.5209 | 0.5179 | 0.5141 | 0.5100 | 0.5061 | 0.5029 | 0.5007 | 0.5000 |
40 | 0.6981 | 0.6966 | 0.6921 | 0.6851 | 0.6763 | 0.6667 | 0.6575 | 0.6497 | 0.6446 | 0.6428 |
50 | 0.8727 | 0.8698 | 0.8614 | 0.8483 | 0.8317 | 0.8134 | 0.7954 | 0.7801 | 0.7697 | 0.7660 |
60 | 1.0472 | 1.0426 | 1.0290 | 1.0076 | 0.9801 | 0.9493 | 0.9184 | 0.8914 | 0.8728 | 0.8660 |
70 | 1.2217 | 1.2149 | 1.1949 | 1.1632 | 1.1221 | 1.0750 | 1.0266 | 0.9830 | 0.9514 | 0.9397 |
80 | 1.3963 | 1.3870 | 1.3597 | 1.3161 | 1.2590 | 1.1926 | 1.1225 | 1.0565 | 1.0054 | 0.9848 |
90 | 1.5708 | 1.5589 | 1.5238 | 1.4675 | 1.3931 | 1.3055 | 1.2111 | 1.1184 | 1.0401 | 1.0000 |
Еліптичні інтеграли третього роду
ред.
Повні еліптичні інтеграли
ред.
Повні еліптичні інтеграли | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
° | ° | ° | ||||||
0 | 1.5708 | 1.5708 | 30 | 1.6858 | 1.4675 | 60 | 2.1565 | 1.2111 |
1 | 1.5709 | 1.5707 | 31 | 1.6941 | 1.4608 | 61 | 2.1842 | 1.2015 |
2 | 1.5713 | 1.5703 | 32 | 1.7028 | 1.4539 | 62 | 2.2132 | 1.1920 |
3 | 1.5719 | 1.5697 | 33 | 1.7119 | 1.4469 | 63 | 2.2435 | 1.1826 |
4 | 1.5727 | 1.5689 | 34 | 1.7214 | 1.4397 | 64 | 2.2754 | 1.1732 |
5 | 1.5738 | 1.5678 | 35 | 1.7312 | 1.4323 | 65 | 2.3088 | 1.1638 |
6 | 1.5751 | 1.5665 | 36 | 1.7415 | 1.4248 | 66 | 2.3439 | 1.1545 |
7 | 1.5767 | 1.5649 | 37 | 1.7522 | 1.4171 | 67 | 2.3809 | 1.1453 |
8 | 1.5785 | 1.5632 | 38 | 1.7633 | 1.4092 | 68 | 2.4198 | 1.1362 |
9 | 1.5805 | 1.5611 | 39 | 1.7748 | 1.4013 | 69 | 2.4610 | 1.1272 |
10 | 1.5828 | 1.5589 | 40 | 1.7868 | 1.3931 | 70 | 2.5046 | 1.1184 |
11 | 1.5854 | 1.5564 | 41 | 1.7992 | 1.3849 | 71 | 2.5507 | 1.1096 |
12 | 1.5882 | 1.5537 | 42 | 1.8122 | 1.3765 | 72 | 2.5998 | 1.1011 |
13 | 1.5913 | 1.5507 | 43 | 1.8256 | 1.3680 | 73 | 2.6521 | 1.0927 |
14 | 1.5946 | 1.5476 | 44 | 1.8396 | 1.3594 | 74 | 2.7081 | 1.0844 |
15 | 1.5981 | 1.5442 | 45 | 1.8541 | 1.3506 | 75 | 2.7681 | 1.0764 |
16 | 1.6020 | 1.5405 | 46 | 1.8691 | 1.3418 | 76 | 2.8327 | 1.0686 |
17 | 1.6061 | 1.5367 | 47 | 1.8848 | 1.3329 | 77 | 2.9026 | 1.0611 |
18 | 1.6105 | 1.5326 | 48 | 1.9011 | 1.3238 | 78 | 2.9786 | 1.0538 |
19 | 1.6151 | 1.5283 | 49 | 1.9180 | 1.3147 | 79 | 3.0617 | 1.0468 |
20 | 1.6200 | 1.5238 | 50 | 1.9356 | 1.3055 | 80 | 3.1534 | 1.0401 |
21 | 1.6252 | 1.5191 | 51 | 1.9539 | 1.2963 | 81 | 3.2553 | 1.0338 |
22 | 1.6307 | 1.5141 | 52 | 1.9729 | 1.2870 | 82 | 3.3699 | 1.0278 |
23 | 1.6365 | 1.5090 | 53 | 1.9927 | 1.2776 | 83 | 3.5004 | 1.0223 |
24 | 1.6426 | 1.5037 | 54 | 2.0133 | 1.2681 | 84 | 3.6519 | 1.0172 |
25 | 1.6490 | 1.4981 | 55 | 2.0347 | 1.2587 | 85 | 3.8317 | 1.0127 |
26 | 1.6557 | 1.4924 | 56 | 2.0571 | 1.2492 | 86 | 4.0528 | 1.0086 |
27 | 1.6627 | 1.4864 | 57 | 2.0804 | 1.2397 | 87 | 4.3387 | 1.0053 |
28 | 1.6701 | 1.4803 | 58 | 2.1047 | 1.2301 | 88 | 4.7427 | 1.0026 |
29 | 1.6777 | 1.4740 | 59 | 2.1300 | 1.2206 | 89 | 5.4349 | 1.0008 |
30 | 1.6858 | 1.4675 | 60 | 2.1565 | 1.2111 | 90 | 1.0000 |
Джерела
ред.- Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)