Еліптичні функції Якобі

Еліптичні функції Якобі — набір основних еліптичних функцій комплексної змінної, і допоміжних тета-функцій, які мають велике історичне значення і пряме відношення до деяких прикладних задач (наприклад, рівняння маятника). Вони також мають корисні аналогії з тригонометричними функціями, як показує відповідне позначення для . Вони не дають найпростіший спосіб розвинути загальну теорію еліптичних функцій, тому в у вступних книгах вони менш популярні, ніж еліптичні функції Вейєрштраса. Еліптичні функції Якобі мають в основному паралелограмі по два простих полюси і два простих нуля.

ОзначенняРедагувати

Як мероморфні функціїРедагувати

 
Паралелограм Якобі.

Функції Якобі є еліптичними функціями, тобто подвійно періодичними мероморфними функціями комплексної змінної. Тобто фактично їх значення визначається на торі або основному паралелограмі.

Якщо ця функція є всюди голоморфною то згідно з теоремою Ліувіля вона буде константою. З властивостей лишків та подвійної періодичності випливає також, що еліптичні функції не можуть в основному паралелограмі мати єдиного полюса порядку 1. Відповідно найпростішими несталими функціями є функції з єдиним полюсом порядку два і двома полюсами порядку 1. Першими є еліптичні функції Вейєрштраса, другими — еліптичні функції Якобі.

Загалом існує 12 принципово відмінних еліптичних функцій Якобі. Загалом вони залежать від основного паралелограма.

Нехай визначено паралелограм (який не буде основним) як на малюнку з вершинами 0, K, K + iK′, iK, що для зручності нотації позначені як s, c, d і n, відповідно.

Дійсні числа K і K' називаються «чвертями періодів».

12 функцій позначаються sc, sd, sn, cd, cn, cs, dn, ds, dc, ns, nc і nd.

Вони є єдиними еліптичними функціями, що задовольняють умови:

  • Функція має простий нуль в куті p визначеного паралелограма і простий полюс в куті q. В інших двох кутах полюсів і нулів немає.
  • Відстань від p до q є половиною періоду функції pq u;тобто функція pq u є періодичною в напрямку pq, з періодом вдвічі більшим, ніж відстань від p до q. Відстані від p до інших точок є чвертями періодів.
  • Розклад функції pq u в ряд Тейлора щодо u в околі точки p має членом найменшого степеня u; членом найменшого степеня при розкладі в ряд Лорана в околі q є 1/u; в інших кутах розклад в ряд Тейлора починається з 1.

Наприклад функція dn має нуль в точці d і полюс в точці n. Вона періодична з періодами 2K і 4iK.

Як обернені функції до еліптичних інтегралівРедагувати

Наведене вище означення в термінах мероморфних функцій є досить абстрактним. Існує більш просте, але абсолютно еквівалентне означення, що задає еліптичні функції як зворотні до неповного еліптичному інтегралу першого роду. нехай

 

Еліптична функція   задається як

 

і   визначається

 

а

 

Тут кут   називається амплітудою.   називається дельта амплітудою. Значення m є вільним параметром, який є дійсним числом в діапазоні  , і таким чином еліптичні функції є функціями двох аргументів: амплітуди   і параметра m.

Решта дев'ять еліптичних функцій легко побудувати з трьох вищенаведених. Це буде зроблено нижче.

Коли  , то u дорівнює чверті періоду K.

Означення в термінах тета-функційРедагувати

Еквівалентно еліптичні функції Якобі можна визначити в термінах тета-функцій. Якщо ми визначимо   як  , і   відповідно як   (тета константи) тоді еліптичний модуль k дорівнює  . Вважаючи  , отримаємо

 

Оскільки функції Якобі визначаються в термінах еліптичного модуля  , необхідно знайти обернені до них і записати τ в термінах k. Почнемо з додаткового модуля  . Як функція від τ він рівний

 

Введемо позначення

 

Визначимо також ном q як   і розкладемо   в ряд за степенями нома q. отримаємо

 

Можна записати розклад в ряд

 

Оскільки ми можемо розглянути окремий випадок коли уявна частина τ більша або рівна  , ми можемо сказати, що значення q менше або рівне   . Для таких малих значень вищенаведений ряд збігається дуже швидко, і це дозволяє легко знайти відповідне значення для q.

ПозначенняРедагувати

Для еліптичних функцій можна зустріти різноманітні позначення. Еліптичні функції — функції двох змінних. Першу змінну можна дати в термінах амплітуди φ, або зазвичай, в термінах u, як нижче. Другу змінну можна було б дати в термінах параметра m, або як еліптичний модуль k, де  , або в термінах модулярного кута  , де  .

Інші функціїРедагувати

Зміною двох букв в назві функцій зазвичай позначають обернені функції до трьох основних функцій наведених вище:

 

Частки трьох головних функцій позначають першою літерою чисельника і першою літерою знаменника:

 

Для кращого запам'ятовування більш коротко можна записати :   де всі букви p, q, і r є будь-якими буквами s, c, d, n (слід пам'ятати, що ss = cc = dd = nn = 1).

Додаткові теоремиРедагувати

Функції задовольняють двом алгебраїчним співвідношенням

 
 

З цього видно, що (cn, sn, dn) параметризують еліптичну криву, яка є перетином двох квадрик заданих вищезазначеними двома рівняннями.

На цій кривій можна визначити груповий закон для точок за допомогою додаткових формул для функцій Якобі:

 

Тригонометричні і гіперболічні функції, як окремий випадок еліптичнихРедагувати

  • Якщо m = 1, то:  ;
Звідси:
 
Звідси:
 
і:
 
Таким чином, при m = 1 еліптичні функції вироджуються в гіперболічні.
  • Якщо m = 0, то:  ;
Звідси:
 ,
а також:
 ,:  ,
Таким чином, при m = 0 еліптичні функції вироджуються в тригонометричні.

Співвідношення між квадратами функційРедагувати

Для квадратів цих функцій вірні наступні співвідношення:

 
 :  
  де   і  .

Додаткові рівності для квадратів можна отримати якщо зауважити, що  , а також   де p, q, r — будь-які літери s, c, d, n і ss = cc = dd = nn = 1.

НомРедагувати

Нехай ном дорівнює   і нехай аргумент —  .

Тоді функції можна представити у вигляді сум Ламберта:

 
 
 

Розв'язки нелінійних звичайних диференціальних рівняньРедагувати

Похідні трьох основних еліптичних функцій Якобі записуються у вигляді:

 


 


 

Використовуючи теорему, формулювання якої наведена вище отримаємо для заданого k (0 < k < 1) рівняння розв'язками яких є еліптичні функції Якобі:

  •   є розв'язком рівнянь
 
і
 
  •   є розв'язком рівнянь
 
і
 
  •   є розв'язком рівняння
 
і
 

Див. такожРедагувати

ПосиланняРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Н. И. Ахиезер (1970). Элементы теории эллиптических функций. Москва: Наука. 
  • Дж. Н. Ватсон, Э. Т. Уиттекер (1963). Курс современного анализа. Ч.2. Трансцендентные функции. Москва: Мир.  или Москва: УРСС, 2010