Відкрити головне меню

У комплексному аналізі теорема Ліувіля стверджує, що якщо ціла функція комплексних змінних є обмеженою, тобто

то константа.

Зміст

Доведення (для випадку )Редагувати

Нехай   обмежена на комплексній площині, тобто

 

Скористаємося інтегральною формулою Коші для похідної  

  Де  коло радіуса  , що містить точку  .

Маємо

 

Звідси, зважаючи що інтегральна формула Коші справедлива для довільного контура, маємо  

Тоді   і, відповідно,   є константою. Теорема доведена.

УзагальненняРедагувати

  • Якщо  ціла функція в   і для деякого  ,
 
для достатньо великих |z|, то  многочлен від змінних   степеня не вище  .
Доведення для однієї змінної.Визначимо:
 
Оскільки f є цілою функцією, то g теж є цілою, і, зважаючи на обмеження на f, одержуємо
 
для достатньо великих |z|.
Якщо припустити, що g є многочленом степеня не більше n-1, то f є многочленом степеня не більше n. Для завершення доведення достатньо використати звичайну теорему Ліувіля і метод математичної індукції.
 
то  гармонічний многочлен від цих змінних.

Твердження для гармонічних функційРедагувати

Гармонічна функція   на всій площині не може бути обмеженою зверху або знизу, якщо вона не стала.

Оскільки дійсна і уявна частини цілої комплексної функції є гармонічними функціями, дане твердження є наслідком твердження теореми для цілих функцій. Можна також дати доведення за допомогою інтеграла Пуассона.

ДоведенняРедагувати

Нехай гармонічна функція на всій площині  . Тоді функція   є також гармонічною на всій площині.
Позначимо через   довільну точку площини,   — відстань від точки   до початку координат, і проведемо круг   з центром у початку координат такого радіуса  , щоб точка   була внутрішньою для цього круга (тобто  ). В силу гармонічності функції   зобразимо її в крузі за допомогою інтеграла Пуассона :

 

тоді отримаємо

 

Перейшовши до границі, коли   , матимемо

  тобто  .

В силу довільності точки   звідси випливає, що

  стала на всій площині.

Див. такожРедагувати

ПосиланняРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • М.О.Перестюк,В.В.Маринець (2001). Теорія рівнянь математичної фізики. Київ: Либідь. 
  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
  • Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., ISBN 0763714372