Відкрити головне меню

Ціла функціяфункція, голоморфна на всій комплексній площині. Вона розкладається в степеневий ряд:

що є збіжним у всій площині . Прикладами цілих функцій є многочлени, тригонометричні функції, експонента.

Зміст

ВластивостіРедагувати

  • Ціла функція, що має на нескінченності полюс, повинна бути многочленом. Таким чином, всі цілі функції, що не є многочленами мають на нескінченності істотно особливу точку. Такі функції називаються трансцендентними цілими функціями.
  • Якщо   усюди, то  , де P(z) — ціла функція.
  • Якщо функція приймає значення нуль в скінченній множині точок  , то:
 
  • У загальному випадку, коли у f(z) має нескінченно багато нулів   має місце представлення:
 
де Р(z) є цілою функцією, а  , якщо   і   рівне кратності нуля z = 0, якщо  .
  • Значеннями довільної цілої функції, не рівної константі, є усі комплексні числа за винятком, можливо одного числа (наприклад значеннями експоненти є всі числа крім нуля).

Порядок і тип цілої функціїРедагувати

Нехай  

Якщо при великих r величина Мf (r) зростає не швидше  , то f(z)многочлен степеня не більшого  . Відповідно, якщо f(z) не многочлен, то Мf (r) росте швидше будь-якого степеня r. При оцінці зростання Мf (r) в цьому випадку береться як функція порівняння показникова функція.

За визначенням f(z) є цілою функцією скінченного порядку, якщо існує скінченне   таке, що

 

Нижня грань   множини чисел  , що задовольняють цій умові, називається порядком цілої функції f(z).

Порядок обчислюється за формулою

 

Якщо f(z) порядку   задовольняє умові:

 

то кажуть, що f(z) — функція порядку   і скінченного типу. Нижня грань   множини чисел  , що задовольняють вказаній умові, називається типом цілої функції f(z). Він визначається з формули

 

Серед цілих функцій скінченного типу розрізняють цілі функції нормального типу   і мінімального типу  . Якщо умова при визначенні типу не виконується при будь-якому  , то ціла функція називається цілою функцією максимального, або нескінченного, типу.

ПрикладиРедагувати

  • Функції   і   з   мають порядок 1.
  • Функція Міттаг-Лефлера   має порядок  .

ВластивостіРедагувати

  • Порядок і тип цілих функцій задовольняють властивості:
    •  
    •  
    •  
    •  
  • Нулі   цілої функції f(z) порядку   для якої   володіють властивістю:
 
  • Порядок і тип можна визначити через коефіцієнти розкладу функції в ряд:
    •  
    •  

Функції багатьох зміннихРедагувати

Функція багатьох змінних f(z1, z2, ..., zn) є цілою функцією, якщо вона є голоморфною для  . Для неї вводяться поняття порядку і типу (спряжених порядків і типів). Простого представлення у виді нескінченного добутку тут одержати не вдається, тому що на відміну від випадку   нулі f(z) не є ізольованими.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Евграфов М. А., Асимптотические оценки и целые функции, 3 изд., М., 1979
  • Левин Б. Я., Распределение корней целых функций, М., 1956;
  • Ронкин Л. И., Введение в теорию целых функций многих переменных, М., 1971.
  • Ralph P. Boas (1954). Entire Functions. Academic Press.