Формула Єнсена є твердженням у комплексному аналізі, що описує поведінку голоморфної в крузі функції в залежності від модулів нулів цієї функції. Твердження є важливим зокрема при вивченні цілих функцій.
Нехай є голоморфною функцією в області комплексної площини, що містить замкнутий круг з центром 0 і радіусом r і нулі в , враховуючи їх кратність.
Якщо не є рівним нулю, то
Еквівалентно якщо позначає кількість нулів функції строго менших за модулем , то
Припустимо спершу, що функція не має нулів у . У цьому випадку вона не має нулів у для деякого малого . Оскільки є однозв'язною і не є рівною нулю, то існує функція , що є голоморфною в , така що . Тому функція , дійсна частина голоморфної функції, є гармонічною в . Зокрема вона є гармонічною в і неперервною в . Згідно властивості середнього значення:
Це завершує першу частину доведення.
Припустимо що функція має нулі в , пронумеровані в такий спосіб: :
Позначимо
Функція є голоморфною в і не рівною нулю в . Згідно першої частини доведення:
Тому для завершення доведення достатньо показати, що . Оскільки
Для теореми існує кілька доведень з використанням ідей комплексного аналізу. Зокрема для доведення можна використати формулу Єнсена.
Нехай маємо многочлен де не дорівнює нулю. Припустимо також, що не дорівнює нулю. Відображення є цілою функцією (тобто голоморфною в ). Для великих за модулем комплексних чисел маємо . Згідно з класичними методами порівняння розбіжних інтегралів маємо:
Многочлен степеня в має щонайбільше k комплексних коренів, враховуючи кратність. Тоді кількість коренів у крузі для достатньо великих є константою, рівною кількості коренів многочлена . Згідно з формулою Єнсена
Після порівняння двох еквівалентностей . Тобто многочлен має коренів, враховуючи кратність.
Формула Єнсена використовується для оцінення кількості нулів голоморфних функцій. А саме, якщо f є голоморфною в крузі радіуса R з центром у точці z0 і якщо |f| є обмеженою числом M на межі круга, тоді кількість нулів f у крузі радіуса r<R з центром у цій же точці z0 не перевищує
Формула Єнсена є важливою у вивченні розподілу значень цілих і мероморфних функцій, зокрема теорії Неванлінни.
Формула Єнсена для многочленів однієї змінної дозволяє обчислити міру Малера многочлена, тобто добуток коренів многочлена з модулем більшим 1.
Формула Єнсена є наслідком більш загальної формули Пуассона — Єнсена, яка натомість випливає з формули Єнсена за допомогою перетворення Мебіуса застосованого до z. Цю формулу вперше вивів Рольф Неванлінна. Якщо функція f є голоморфою в одиничному крузі, з нулями a1, a2, ..., an розміщеними всередині одиничного круга, то для кожного в одиничному крузі формула Пуассона — Єнсена має вигляд
Тут,
є ядром Пуассона в одиничному крузі.
Якщо функція f не має нулів в одиничному крузі, то формула Пуассона — Єнсена зводиться до