Інтегральна формула Пуассона

Інтегра́льна формула Пуассо́на Нехай для гармонічної в кулі функції u(r, φ) поставлена ​​умова рівності на границі функції u0: u(R, φ) = u0(φ), при цьому функції належать наступним класам гладкості: , де ∂D — границя кулі D, а — його замикання. Тоді розв'язок такої задачі Діріхле можна представити через інтеграл Пуассона:

где ωn — площа одиничної сфери, а n — розмірність простору.

Для двовимірного просторуРедагувати

Нехай f(z) є функція, аналітична всередині і на межі кола К радіуса R (за центр кола, ми візьмемо, наприклад, початок координат). Для довільної точки  , що лежить всередині K, ми маємо за формулою Коші:

 , (1)

Розглянемо z* симетричну відносно К, тобто  . Оскільки точка z* не належить К то функція   буде аналітичною всередині і на границі кола К, а тому за теоремою Коші маємо:  , (2)

Віднімаємо від (1) рівність (2):

 

яка після елементарних перетворень виглядатиме:

 

Порівнюючи ліву і праву частини рівності, отримаємо формулу:

 , (3)

яка носить назву інтегральна формула Пуассона. Оскільки кожна гармонічна функція U може бути розглянута як дійсна частина аналітичної функції, то за допомогою цієї формули виражається значення будь-якої гармонійної функції усередині кола через її граничні значення.

Зауважимо ще, що ми отримаємо з формули (3) часткові похідні функції U відносно r і   (або х і у) для внутрішньої точки кола, якщо продифференціюємо вираз, що стоїть під знаком інтеграла.

Редагувати

Формула (3) Пуассона найпростіший вигляд має при r=0:

 

тобто значення гармонічної функції у центрі кола дорівнює середньому арифметичному її значень на

межі цього кола.

ДжерелаРедагувати

  • И.И. Привалов. Введение в теорию функций комплексной переменной. - Москва "Наука", 1984