Міра Малера

міра висоти многочлена

Міра Малера для многочлена з комплексними коефіцієнтами визначається як

де розкладається в полі комплексних чисел на множники

Міру Малера можна розглядати як вид функції висоти. Використовуючи формулу Єнсена, можна показати, що ця міра еквівалентна середньому геометричному чисел для на одиничному колі (тобто, ):

У ширшому значенні міра Малера для алгебричного числа визначається як міра Малера мінімального многочлена від над . Зокрема, якщо є числом Пізо або числом Салема, то міра Малера дорівнює просто .

Названо на честь математика Курта Малера[en].

Властивості

ред.
  • Міра Малера є мультиплікативною:   де   — квантор загальності .
  •  , де середнє степеневе   є нормою   для многочлена  [1].
  • (Теорема Кронекера[en]) Якщо   -незвідний нормований (старший коефіцієнт — 1) цілочисельний многочлен із  , то або  , або   є коловим многочленом.
  • (Гіпотеза Лемера[en]) Якщо існує стала  , така, що, якщо   є незвідним цілочисельним многочленом, то або  , або  .
  • Міра Малера нормованого цілого многочлена є числом Перрона.

Міра Малера від кількох змінних

ред.

Міра Малера   для многочлена з кількома змінними   визначається за аналогічною формулою[2]:

 

Ця міра зберігає всі три властивості міри Малера для многочлена від однієї змінної.

Показано, що в деяких випадках міра Малера від кількох змінних пов'язана зі спеціальними значеннями дзета-функцій і  -функцій. Наприклад, 1981 року Сміт довів формули[3]

 

де   — L-функція Діріхле, і

  ,

де   — дзета-функція Рімана. Тут   називають логарифмічною мірою Малера.

Теорема Лоутона

ред.

За визначенням міра Малера сприймається як інтеграл многочлена за тором (див. гіпотезу Лемера[en]). Якщо   перетворюється на нуль на торі  , то збіжність інтеграла, який визначає  , не очевидна, але відомо, що   збігається і дорівнює межі міри Малера від однієї змінної[4], що висловив у вигляді гіпотези Бойд[en] [5][6].

Нехай   позначає цілі числа, визначимо   . Якщо   є многочленом від   змінних та  , то нехай многочлен   від однієї змінної визначається як

 

а   — як

  ,

де  .

Теорема (Лоутона): нехай   є многочленом від N змінних із комплексними коефіцієнтами — тоді істинна така границя (навіть якщо порушити умову  ):

 

Пропозиція Бойда

ред.

Бойд запропонував твердження, загальніше, ніж наведена вище теорема. Він вказав на те, що класична теорема Кронекера, яка характеризує нормовані многочлени з цілими коефіцієнтами, корені яких лежать усередині одиничного кола, може розглядатися як опис многочленів однієї змінної, міра Малера для яких точно дорівнює 1, і на те, що цей результат можна поширити на многочлени кількох змінних[6].

Нехай розширений круговий многочлен визначатиметься як многочлен вигляду

 

де   — коловий многочлен степеня m,   — цілі числа, а   вбрано найменшим, так що   є многочленом від  . Нехай   — множина многочленів, які є добутком одночленів   та розширеного колового многочлена. Тоді виходить така теорема.

Теорема (Бойда): нехай   — многочлен із цілими коефіцієнтами, тоді   тільки коли   є елементом  .

Це наштовхнуло Бойда на думку розглянути такі множини:

 

та об'єднання  . Він висунув більш «просунуту» гіпотезу[5], що множина   є замкнутою підмножиною  . З істинності цієї гіпотези негайно випливає істинність гіпотези Лемера, хоч і без явної нижньої межі. Оскільки з результату Сміта випливає, що  , Бойд пізніше висловив гіпотезу, що

 

Див. також

ред.

Примітки

ред.
  1. Хоча це не є істинною нормою для значень  .
  2. Schinzel, 2000, с. 224.
  3. Smyth, 2008.
  4. Lawton, 1983.
  5. а б Boyd, 1981a.
  6. а б Boyd, 1981b.

Література

ред.
  • Peter Borwein. Computational Excursions in Analysis and Number Theory. — Springer, 2002. — Т. 10. — С. 3, 15. — (CMS Books in Mathematics) — ISBN 0-387-95444-9.
  • David Boyd. Speculations concerning the range of Mahler's measure // Canad. Math. Bull.. — 1981a. — Т. 24, вип. 4. — С. 453–469. — DOI:10.4153/cmb-1981-069-5.
  • David Boyd. Kronecker's Theorem and Lehmer's Problem for Polynomials in Several Variables // Journal of Number Theory. — 1981b. — Т. 13. — С. 116–121. — DOI:10.1016/0022-314x(81)90033-0.
  • David Boyd. Number theory for the Millenium / M. A. Bennett. — A. K. Peters, 2002a. — С. 127–143.
  • David Boyd. Mahler's measure, hyperbolic manifolds and the dilogarithm // Canadian Mathematical Society Notes. — 2002b. — Т. 34, вип. 2. — С. 3–4, 26–28.
  • David Boyd, F. Rodriguez Villegas. Mahler's measure and the dilogarithm, part 1 // Canadian J. Math.. — 2002. — Т. 54. — С. 468–492. — DOI:10.4153/cjm-2002-016-9.
  • Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Міра Малера, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4.
  • J.L. Jensen. Sur un nouvel et important théorème de la théorie des fonctions // Acta Mathematica. — 1899. — Т. 22. — С. 359–364. — DOI:10.1007/BF02417878.
  • Donald E. Knuth. 4.6.2 Factorization of Polynomials // Seminumerical Algorithms. — 3rd. — Addison-Wesley, 1997. — Т. 2. — С. 439–461, 678–691. — (The Art of Computer Programming) — ISBN 0-201-89684-2.
  • Wayne M. Lawton. A problem of Boyd concerning geometric means of polynomials // Journal of Number Theory. — 1983. — Т. 16. — С. 356–362. — DOI:10.1016/0022-314X(83)90063-X.
  • M.J. Mossinghoff. Polynomials with Small Mahler Measure // Mathematics of Computation. — 1998. — Т. 67, вип. 224. — С. 1697–1706. — DOI:10.1090/S0025-5718-98-01006-0.
  • Andrzej Schinzel. Polynomials with special regard to reducibility. — Cambridge University Press, 2000. — Т. 77. — (Encyclopedia of Mathematics and Its Applications) — ISBN 0-521-66225-7.
  • Chris Smyth. Number Theory and Polynomials / James McKee, Chris Smyth. — Cambridge University Press, 2008. — Т. 352. — С. 322–349. — (London Mathematical Society Lecture Note Series) — ISBN 978-0-521-71467-9.

Посилання

ред.