Ізольована точка

Ізольована точка множини в загальній топології — точка множини, що перетин деякого її околу з множиною складається з єдиної точки.

ВизначенняРедагувати

Нехай дано топологічний простір  , і підмножина  . Точка   називається ізольованою точкою множини  , якщо існує окіл   такий, що  

Пов'язані визначенняРедагувати

Підмножина топологічного простору, всі точки якої є ізольованими, називається дискре́тною множино́ю. Простір, кожна точка якого є ізольованою, є дискретним.

ВластивостіРедагувати

  • Довільна функція  , де   - множина з власною топологією, завжди неперервна в ізольованій точці  .

ПрикладиРедагувати

Нехай   — множина дійсних чисел із стандартною топологією.

  • Якщо  , то точка   є ізольованою, а всі інші не є ізольованими.
  • Якщо   то   не є ізольованою точкою, а всі інші ними є.
  • Множина натуральних чисел   є дискретною.
  • Множина раціональних чисел не має ізольованих точок. Зокрема, вона не є дискретною, хоч і є зліченною.
  • Існують незвідні многочлени від двох змінних f(x,y), графіки яких (тобто множина точок площини, в яких f(x,y)=0) містять одну або декілька ізольованих точок. Наприклад, графік функції y^2 = x^2*(x-1) складається з кривої, що лежить в напівплощині x>1, і ізольованої точки (0;0).

Див. такожРедагувати