Ізольована точка

Точка підмножини S, навколо якої немає інших точок підмножини S

У математиці точка  називається ізольованою точкою підмножини топологічному просторі ), якщо точка  є елементом підмножини  і існує такий окіл цієї точки , який не містить жодних інших точок із даної підмножини . Це еквівалентно тому, що сінґлетон (одноелементна множина)  є відкритою множиною в топологічному просторі (розглядається як підпростір простору ). Інше еквівалентне формулювання: елемент  підмножини є ізольованою точкою підмножини тоді й лише тоді, коли він не є граничною точкою підмножини .

"" ― ізольована точка множини .

Якщо простір є евклідовим простором (або будь-яким іншим метричним простором), то елемент підмножини є ізольованою точкою підмножини , якщо навколо існує така відкрита куля, яка містить лише скінченну кількість елементів підмножини .

Пов'язані означення

ред.

Множина, яка складається лише з ізольованих точок, називається дискретною множиною (див. також дискретний простір). Будь-яка дискретна підмножина   евклідового простору має бути зліченною, оскільки ізоляція будь-якої її точки разом із щільністю множини раціональних чисел у множині дійсних числах, означає, що точки підмножини   можна відобразити в набір точок з раціональними координатами, яких є лише зліченно багато. Однак, не кожна зліченна множина є дискретною, канонічним прикладом є множина раціональних чисел у звичайній евклідовій метриці.

Множина, яка не має ізольованої точки, називається множиною щільною в собі[en] (будь-який окіл точки містить інші точки множини). Замкнута множина без ізольованої точки називається досконалою множиною (вона включає всі граничні точки, і жодна з них не ізольована на ній).

Кількість ізольованих точок є топологічним інваріантом[en], тобто, якщо два топологічні простори   і   є гомеоморфними, то кількість ізольованих точок у кожному просторі є однаковою.

Приклади

ред.

Стандартні приклади

ред.

Топологічні простори в наступних трьох прикладах розглядаються як підпростори вісі дійсних чисел в стандартній топології.

  • Для множини   точка   є ізольованою точкою.
  • Для множини  , кожна з точок   є ізольованою точкою, але точка   не є ізольованою точкою, оскільки в підмножини   є інші точки, які як завгодно близькі до точки  .
  • Множина   натуральних чисел є дискретною множиною.

У топологічному просторі   з топологією  , елемент   є ізольованою точкою, навіть якщо   належить до замикання елемента   (і тому в якомусь значенні є "близьким" до  ). Така ситуація є неможливою в гаусдофовому просторі.

Лема Морса стверджує, що невироджені критичні точки деяких функцій є ізольованими.

Два нелогічних приклади

ред.

Розглянемо набір точок з дійсного інтервалу   такий, в якому кожна цифра   їх двійкового представлення задовольняє наступним умовам:

  • Або   або  .
  •   лише для скінченної кількості індексів  .
  • Якщо   позначає найбільший індекс такий, що  , то  .
  • Якщо   і  , тоді виконується одна з наступних умов:   або  .

Неформально ці умови означають, що кожна цифра двійкового представлення  , яка дорівнює  , належить парі  , за винятком   в самому кінці.

Тепер   ― це явна множина, що повністю складається з ізольованих точок, яка має нелогічну властивість, що замикання цієї множини є незліченною множиною.[1]

Інший набір   з такими ж властивостями можна отримати наступним чином. Нехай  множина Кантора середніх третин, нехай   ― інтервали компонентів  , і нехай   ― множина, що включає по одній точці з кожного такого інтервалу  . Оскільки кожна точка інтервалу   містить лише одну точку з множини  , то будь-яка точка множини   є ізольованою точкою. Однак, якщо   є будь-якою точкою в множині Кантора, то кожен окіл точки   містить принаймні один інтервал  , а отже, принаймні одну точку з множини  . Звідси випливає, що кожна точка множини Кантора лежить у замиканні множини  , а отже, множина   має незліченне замикання.

Див. також

ред.

Примітки

ред.
  1. Gomez-Ramirez, Danny (2007), An explicit set of isolated points in R with uncountable closure, Matemáticas: Enseñanza universitaria, Escuela Regional de Matemáticas. Universidad del Valle, Colombia, 15: 145—147

Зовнішні посилання

ред.

Weisstein, Eric W. Isolated Point(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.