Границя функції в точці

Границя функції в точці, граничній для області визначення функції, називається таке число, до якого значення даної функції прямує при спрямуванні її аргументу до цієї точки. Одне з основоположних понять математичного аналізу.

1 0.841471...
0.1 0.998334...
0.01 0.999983...

Хоча функція в нулі не визначена, проте коли наближається до нуля, її значення стає як завгодно близьким до 1. Іншими словами, границя цієї функції в нулі дорівнює 1.

ІсторіяРедагувати

Незважаючи на те, що математичний аналіз розвивався у 17-му та 18-му століттях, сучасна ідея границі функції походить від Бернард Больцано, який у 1817 році ввів основи техніки епсилон-дельта для визначення неперервних функцій. Проте його роботи за життя не були відомими.[1]

У своїй книзі Cours d'analyse 1821 року Оґюстен-Луї Коші обмірковував змінні величини, нескінченно малі та границі, визначив неперервність  , сказавши, що нескінченно мала зміна x обов’язково призводить до нескінченно малої зміни у, при цьому використовував строге визначення епсилон-дельта в доведеннях.[2] У 1861 році Вейєрштрас вперше ввів визначення границі в позначеннях епсилон-дельта у тому вигляді, який зазвичай записують сьогодні.[3] Він також ввів позначення   та  .[4]

Сучасне позначення з розміщенням стрілки знизу   ввів Ґодфрі Гарольд Гарді у своїй книзі «Курс чистої математики» в 1908 році.[5]

ОзначенняРедагувати

Існує кілька рівносильних визначень границі функції в точці — серед них є сформульовані Коші та Гейне.

Нехай  , причому  , і   — гранична точка множини  . У подальшому будемо розглядати функції  . Через   позначимо  -окіл точки  :

 .

Означення за КошіРедагувати

Число   називається границею функції   в точці  , якщо

 

Позначення:

 

або

  при  .

Під   і   можна розуміти як «похибку» та «відстань» відповідно. Фактично, Коші використовував   як позначення для «похибки» у деяких своїх роботах[2], а у своєму визначенні неперервності він використовував нескінченно малу  , а не   чи  . У цих позначеннях похибка   обчислення значення границі зменшується при зменшенні відстані   до граничної точки.

Означення за ГейнеРедагувати

Число   називається границею функції   в точці  , якщо для довільної послідовності  ,   при  , що збігається до числа  , відповідна послідовність значень функції   збіжна і має границею одне і теж саме число  .

Односторонні границіРедагувати

 
Односторонні границі не рівні. Отже, границі при xx0 не існує.

Одностороння границя — це границя функції однієї змінної в деякій точці, коли аргумент прямує до значення аргументу у цій точці окремо зі сторони більших аргументів (правостороння границя), або зі сторони менших аргументів (лівостороння границя).

Означення правосторонньої границі

Нехай   і   — гранична точка множини   такі, що  . Число   називається правосторонньою границею функції   в точці  , якщо
 .

Правосторонню границю прийнято позначати наступним чином:

 

Означення лівосторонньої границі

Нехай   і   — гранична точка множини   такі, що  . Число   називається лівосторонньою границею функції   в точці  , якщо
 .

Для лівосторонньої границі прийняті такі позначення:

 

Використовуються також наступні скорочення:

  •   і   для правої границі;
  •   і   для лівої границі.

Якщо обидві односторонні границі існують в точці   та рівні в ній, то можна показати, що  . Якщо односторонні границі існують в точці  , але не рівні, то границі в точці   не існує. Якщо будь-яка одностороння границя не існує, то і границі також не існує.

ПрикладиРедагувати

Відсутність односторонніх границьРедагувати

 
Функція без границі в точці суттєвого розриву

Функція

 

не має границі в точці   (лівостороння границя не існує через коливальний характер функції синуса, а правостороння границя не існує через асимптотичну поведінку оберненої функції), але має границю і кожній іншій точці.

Функція Діріхле

 

не має границі в жодній точці дійсної прямої.

Нерівність односторонніх границьРедагувати

Функція

 

має границю для кожної ненульової точки x (дорівнює 1 для від’ємного x і дорівнює 2 для додатного x). Однак, границі при x = 0 не існує (лівостороння границя дорівнює 1, а правостороння — 2).

Існування границі лише в одній точціРедагувати

Обидві функції

 

та

 

мають границю в точці x = 0 і вона дорівнює 0. В інших точка границі не існує.

Існування границі в зліченній кількості точокРедагувати

Функція

 

має границю в будь-якій точці  , де  .

Границі, пов’язані з нескінченністюРедагувати

Границя в нескінченностіРедагувати

 
Границя цієї функції при   існує.

Границя функції в нескінченності визначає поведінку значень функції, коли модуль її аргумента стає нескінченно великим. Існують різні означення таких границь, але вони рівгосильні між собою.

Границя в нескінченності за КошіРедагувати

  • Нехай  ,   — необмежена зверху множина,  . Число   називається границею функції   при  , якщо
 

Позначення:   або   при  .

  • Нехай  ,   — необмежена знизу множина,  . Число   називається границею функції   при  , якщо
 

Позначення:   або   при  .

Границя в нескінченності за ГейнеРедагувати

  • Нехай  ,   — необмежена зверху множина,  . Число   називається границею функції   при  , якщо для довільної послідовності  , яка прямує до   при  , відповідна послідовність значень функції   збіжна і має границею одне і теж саме число  .
  • Нехай  ,   — необмежена знизу множина,  . Число   називається границею функції   при  , якщо для довільної послідовності  , яка прямує до   при  , відповідна послідовність значень функції   збіжна і має границею одне і теж саме число  .

Нескінченні границіРедагувати

Для функції, значення якої зростають або спадають безмежно, тобто функція розходиться, звичайна границя не існує. У цьому випадку можна ввести границі з нескінченними значеннями.

Нехай  ,   — гранична точка множини   і  .

Кажуть, що   прямує до плюс нескінченності в точці  , якщо

 .

Позначення:   або   при  .

Кажуть, що   прямує до мінус нескінченності в точці  , якщо

 .

Позначення:   або   при  .

Можна поєднувати ідеї декількох означень границь в точці за Коші природним чином, щоб отримати визначення для різних комбінацій, наприклад

 

Так само можна поєднувати означення за Гейне.

Приклад:

 

ВластивостіРедагувати

Нехай  ,   — гранична точка  , задані функції   та існують границі  ,  . Тоді при таких умовах границя функції в точці має наступні властивості:

  • Якщо   і  , то  .
  • Якщо   і  , то
 .
  • Якщо  , то  .
  • Теорема про арифметичні дії
  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4. Якщо додатково  , то
     
  5.   якщо права частина можлива.

Теорема про арифметичні дії також дійсна для односторонніх границь, у тому числі коли границя дорівнює   або  . У кожній рівності вище, коли одна з границь праворуч дорівнює   або  , границя ліворуч іноді все ще може визначатися наступними правилами:

  • q + ∞ = ∞ якщо q ≠ −∞
  • q × ∞ = ∞ якщо q > 0
  • q × ∞ = −∞ якщо q < 0
  • q / ∞ = 0 якщо q ≠ ∞ і q ≠ −∞
  • q = 0 якщо q < 0
  • q = ∞ якщо q > 0
  • q = 0 якщо 0 < q < 1
  • q = ∞ якщо q > 1
  • q−∞ = ∞ якщо 0 < q < 1
  • q−∞ = 0 якщо q > 1

Границя композиції функційРедагувати

У загальному від того, що

  та  ,

не випливає, що  , де   і  , b — гранична точка множини A, a — гранична точка множини B. Це «правило ланцюга» діє, якщо виконується одна з наступних додаткових умов:

  •  , тобто f неперервна в b;
  •  , тобто g не приймає значення b поблизу a.

Для прикладу розглянемо таку функцію, яка порушує обидві умови:

 

Оскільки точка 0 є розривом, який можна усунути, то

  для всіх  .

Таким чином, наївне «правило ланцюга» передбачає, що границя   дорівнює 0. Однак

 

і тому

  для всіх  .

Правило ЛопіталяРедагувати

Докладніше: Правило Лопіталя

Це правило використовує похідні, щоб розкрити невизначеності вигляду 0/0 або ±∞/∞, і застосовується лише до таких випадків. Нехай f(x) і g(x), визначені на відкритому інтервалі I, що містить граничну точку c, які задовольняють наступні умови:

  1.   або  ,
  2.   і   диференційовні на  ,
  3.   для всіх  ,
  4.   існує.

Тоді

 .

Наприклад,

 

Основні приклади границь функцій в точціРедагувати

Докладніше: Список границь

Раціональні функціїРедагувати

Для цілого невід’ємного числа   та констант   і  

 .

Це можна довести, поділивши як чисельник, так і знаменник на  . Якщо чисельник є поліномом більшого степеня ніж знаменник, то у цьому випадку раціональна функція прямує до  . Якщо знаменник більшого степеня ніж чисельник, то границя дорівнює 0.

Тригонометричні функціїРедагувати

  •   — перша чудова границя
  •  

Експоненціальні функціїРедагувати

  •   — друга чудова границя
  •  
  •  
  •  
  •  

Логарифмічні функціїРедагувати

  •  
  •  
  •  

Узагальнення на метричні просториРедагувати

Нехай  ,   — метричні простори,  ,   — гранична точка множини  . Елемент   називається границею функції   в точці  , якщо

 .

Також можна дати інше еквіваленте означення границі в точці для метричних просторів, аналогічне до означення за Гейне, розглянутого вище.

Елемент   називається границею функції   в точці  , для довільної послідовності  ,   при  , що збігається до елемента  , відповідна послідовність значень функції   збіжна і має границею один і той самий елемент  .

Найбільш важливими є наступні випадки:

  1.  ,   — дійсна функція, визначена на множині   дійсних чисел;
  2.  ,   — дійсна функція n-змінних;
  3.  ,   — векторна функція n-змінних;
  4.   — метричний простір,  ,   — дійсна функція, яка задана на множині   метричного простору.

Узагальнення на топологічні просториРедагувати

Нехай   — топологічний простір,   — гаусдорфів топологічний простір,  ,   — гранична точка множини  . Елемент   називається границею функції   в точці  , якщо

 .

Означення, аналогічне до Гейне вже буде частковим випадком, визначиного вище, а не рівносильним йому.

Вимога, щоб простір Y був гаусдорфовим, може бути послаблена до припущення, що Y є просто топологічним простором, але тоді границя функції може не бути єдиною. Тому вже не можна буде говорити про границю функції в точці, а скоріше про множину границь у точці.

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати

  • Дороговцев А. Я. Математичний аналіз: Підручник: У двох частинах. Частина 1. — Київ : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.
  • Дороговцев А. Я. Математичний аналіз: Підручник: У двох частинах. Частина 2. — Київ : Либідь, 1994. — 304 с. — ISBN 5-325-00351-X.
  • Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462.  (укр.)
  • М.О.Дзедзінський. Математичний Аналіз для студентів. — Листочок.
  • Поняття границі функції // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 207. — 594 с.
  • Sutherland, W. A. (1975). Introduction to Metric and Topological Spaces. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853161-3. 

ВиноскиРедагувати

  1. Felscher, Walter (2000). Bolzano, Cauchy, Epsilon, Delta. American Mathematical Monthly 107 (9): 844–862. JSTOR 2695743. doi:10.2307/2695743. 
  2. а б Grabiner, Judith V. (1983). Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus. American Mathematical Monthly 90 (3): 185–194. JSTOR 2975545. doi:10.2307/2975545. , наявна в Who Gave You the Epsilon?, ISBN 978-0-88385-569-0 сс. 5–13. Також доступна на сторінці http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma002.pdf
  3. Sinkevich, G. I. (2017). Historia epsylontyki. Antiquitates Mathematicae (Cornell University) 10. arXiv:1502.06942. doi:10.14708/am.v10i0.805. 
  4. Burton, David M. (1997). The History of Mathematics: An introduction (вид. Third). New York: McGraw–Hill. с. 558–559. ISBN 978-0-07-009465-9. 
  5. Miller, Jeff (1 грудня 2004). Earliest Uses of Symbols of Calculus. Процитовано 18 грудня 2008.